Pruebe que la distancia entre el punto (x1, y1) y la recta ax + by = c esta dada por[tex]d = \ frac{ax + by - c}{ \ sqrt{a x ^ {2} + b x ^ {2} } } [ / tex]?

El vector director de esta recta es <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cvec%20v%3D%28-b%2Ca%29" />

elijamos un punto cualquierasobre esta recta, digamos (0, c / b)

Necesitaremos el vector cuyo origen es (0, c / b) y destino (x1, y1), es decir <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cvec%20w%20%3D%28x_1%2Cy_1%29-%280%2Cc%2Fb%29%3D%28x_1%2Cy_1-c%2Fb%29" />

Luego proyectemos la sombra del vector<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cvec%20w" /> sobre el vector ortogonal a<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cvec%20v" /> que es<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cvec%20v%5E%7B%5Cbot%7D%3D%28a%2Cb%29%0A" />, es decir

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%0A%5Cvec%20d%3D%5Cmbox%7BProy%7D_%7B%5Cvec%7Bv%7D%5E%7B%5Cbot%7D%7D%5Cvec%20w%5C%5C%20%5C%5C%0A%5Cvec%20d%3D%5Cfrac%7B%5Cvec%7Bv%7D%5E%7B%5Cbot%7D%20%5Ccdot%20%5Cvec%20w%7D%7B%5C%7C%5Cvec%7Bv%7D%5E%7B%5Cbot%7D%5C%7C%5E2%7D%5Ccdot%20%5Cvec%7Bv%7D%5E%7B%5Cbot%7D%5C%5C%20%5C%5C%0A%5Cvec%20d%3D%5Cfrac%7B%28a%2Cb%29%5Ccdot%20%28x_1%2Cy_1-c%2Fb%29%7D%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D%5Ccdot%20%28a%2Cb%29%5C%5C%20%5C%5C%0A%5Cvec%20d%3D%5Cfrac%7B%28ax_1%2Bby_1-c%29%7D%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D%5Ccdot%20%28a%2Cb%29%0A" />

el módulo de este vector será la distancia del punto a la recta

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%0A%5C%7C%5Cvec%20d%5C%7C%3D%5Cleft%5C%7C%5Cfrac%7B%28ax_1%2Bby_1-c%29%7D%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D%5Ccdot%20%28a%2Cb%29%5Cright%5C%7C%5C%5C%20%5C%5C%0A%5C%7C%5Cvec%20d%5C%7C%3D%5Cleft%7C%5Cfrac%7B%28ax_1%2Bby_1-c%29%7D%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D%5Cright%7C%5Ccdot%20%5C%7C%28a%2Cb%29%5C%7C%5C%5C%20%5C%5C%0A%5C%7C%5Cvec%20d%5C%7C%3D%5Cfrac%7B%5Cleft%7Cax_1%2Bby_1-c%5Cright%7C%7D%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D%5Ccdot%20%5Csqrt%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%0A%5Clarge%5Cboxed%7B%5C%7C%5Cvec%20d%5C%7C%3D%5Cfrac%7B%5Cleft%7Cax_1%2Bby_1-c%5Cright%7C%7D%7B%5Csqrt%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D%7D%7D" />.