La ecuación diferencial correspondiente a la carga de un capacitor :
Lq ̈(t) + Rq ̇(t) + 1 / C q(t) = E(t)
donde R es variable con la temperatura, debemos establecer lun valor de t para poder calcular la Ecuación diferencial auxiliar :
si t = 0 entonces R = 1Ω
Sustuimos valores en la ecuación diferencial original :
0.
1q ̈(t) + q ̇(t) + 1 / 2 q(t) = 0
Sustituimos a q(t) por m
0.
1m ^ 2 + m + 1 / 2 = 0
Encontramos el valor de m resolviendo la ecuación cuadrática y obtenemos que :
m1 = - 5 + 2√5
m2 = - 5 - 2√5
Por lo que nuestra Ecuación Diferencial auxiliar es :
q(t) = C1e ^ (m1t) + C2e ^ (m2t)
q(t) = C1e ^ ( - 5 + 2√5)t + C2e ^ ( - 5 - 2√5)t(I)
Evaluamos la ecuación (I) en las condiciones iniciales
q(0) = C1 + C2 (II)
q'(t) = ( - 5 + 2√5)C1e ^ ( - 5 + 2√5)t + ( - 5 - 2√5)C2e ^ ( - 5 - 2√52)t
q'(0) = ( - 5 + 2√5)C1 + ( - 5 - 2√5)C2 (III)
10 - C1 = C2 (IV) - ( - 5 + 2√5)C1 / ( - 5 - 2√5) = C2 (V)
Aplicando el método de igualación, igualamos (IV) y (V) para encontrar el valor de las constantes :
10 - C1 = - ( - 5 + 2√5)C1 / ( - 5 - 2√5)
10 = - ( - 5 + 2√5)C1 / ( - 5 - 2√5) + C1
10 = C1( - ( - 5 + 2√5) / ( - 5 - 2√5) + 1)
10 = C1( - 8 + 4√5)
C1 = 10 / ( - 8 + 4√5)
C2 = 10 - 10 / ( - 8 + 4√5)
Finalmente la solución a nuestra Ecuación Diferencial es :
q(t) = 10 / ( - 8 + 4√5)e ^ ( - 5 + 2√5)t + [10 - 10 / ( - 8 + 4√5)]e ^ ( - 5 - 2√52)t.