Porque no existe un número racional cuyo cuadrado sea 12?

Para demostrarlo, tienes que asumir primero que sí hay un número racional que cumpla con :

(p / q)² = 2

Siendo "p" y "q" número enteros.

Si llegas a una contradicción, entonces con ello se termina la demostración, ¿de acuerdo?

Si te fijas bien, estamos diciendo pues que existe una fracción con los números "p" y "q" tales que :

(p / q) = √2

En matemáticas es bien conocido que √2 es irracional, y con ello la demostración terminó ya que se ha llegado a una contradicción pues acabamos de suponer que p / q si existe.

Pero vamos a demostrar porqué √2 es irracional.

Vamos a usar otro par de números distintos a "p" y "q".

Sean "a" y "b" dos números enteros tales que :

(a / b) = √2

Al hacer ésto estamos suponiendo que √2 es racional, pues lo estamos expresando como el resultado de una fracción de 2 números enteros distintos y que ya no deben tener factores comunes entre si.

De otro modo, la fracción se podría simplificar aún más y encontrarías números menores a "a" y a "b", llegando con ello al mismo problema.

La fracción debe ser, pues, irreducible.

Si despejamos "a" y elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad, estamos diciendo pues que :

a² = 2b²

A todas luces se aprecia que a² es un número par (es el producto de 2 por otro número), por lo que "a" también lo es.

(La demostración de que "a" es par sabiendo que a² es par, es sencilla, pues solamente debes recordar que hay 2 maneras de obtener un número par cuando multiplicas 2 enteros :

(par)(par) = par

(impar)(par) = par

Al menos uno de los factores debe ser par, ¿verdad.

Pero resulta que a² = a·a, el producto del mismo número por sí mismo, y como uno debe ser par, entonces también el otro lo es y ésto termina la prueba de que si a² es par, también lo es "a")

Bueno, como "a" es un número par, entonces se puede decir que a = 2k para cualquier número entero "k", ¿de acuerdo?

Sustituyamos ésto en la expresión anterior :

(2k)² = 2b² = 4k²

b² = 2k²

De aquí se desprende que b² es también un número par, o sea que "b" es número par.

Resulta que "a" y "b" son números pares, pero ésto es imposible porque se supone que "a" y "b" NO deben tener factores comunes (el cual aquí es 2), así que haber supuesto que √2 era racional fué una equivocación, por lo que √2 es irracional y con ello se demuestra la veracidad de que (p / q)² ≠ 2 para "p" y "q" enteros.