Generalmente cuando en un límite hay la presencia de valores absolutos, como en este caso, es necesario apoyarse en la definición de límites laterales para explicar porque el límite es 2Explicación paso a paso : La definición de límite implica necesariamente que su existencia solo es posible si los límites laterales son iguales.
La noción de límite lateral refiere al comportamiento de la función alrededor del valor de tendencia de la variable independiente.
Centrados en ese valor, se estudia el comportamiento a la izquierda y a la derecha y se espera que estos sean iguales, por unicidad del límite.
El problema planteado : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7BValorAbs%28x%2B1%29-ValorAbs%28x-1%29%7D%7Bx%7D" />se debe estudiar centrado en x = 0 Límite lateral por la izquierda : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%5E%7B-%7D%7D%20%5Cfrac%7BValorAbs%28x%2B1%29-ValorAbs%28x-1%29%7D%7Bx%7D%3D%5Clim_%7Bh%20%5Cto%200%5E%7B%2B%7D%20%7D%20%5Cfrac%7BValorAbs%280-h%2B1%29-ValorAbs%280-h-1%29%7D%7B0-h%7D%3D" />Al aplicar la definición de Valor Absoluto : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=ValorAbs%280-h%2B1%29%3D1-h" /> que representa el valor positivo de la cantidad en el Valor Absoluto<img src="https://tex.z-dn.net/?f=ValorAbs%280-h-1%29%3D1%2Bh" /> que representa el valor positivo de la cantidad en el Valor Absoluto, por lo tanto, <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bh%20%5Cto%200%5E%7B%2B%7D%20%7D%20%5Cfrac%7B1-h-%28h%2B1%29%7D%7B-h%7D%3D%5Clim_%7Bh%20%5Cto%200%5E%7B%2B%7D%20%7D%20%5Cfrac%7B-2h%7D%7B-h%7D%3D2" />Límite lateral por la derecha : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%5E%7B%2B%7D%7D%20%5Cfrac%7BValorAbs%28x%2B1%29-ValorAbs%28x-1%29%7D%7Bx%7D%3D%5Clim_%7Bh%20%5Cto%200%5E%7B%2B%7D%20%7D%20%5Cfrac%7BValorAbs%280%2Bh%2B1%29-ValorAbs%280%2Bh-1%29%7D%7B0%2Bh%7D%3D" />Al aplicar la definición de Valor Absoluto : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=ValorAbs%280%2Bh%2B1%29%3D1%2Bh" /> que representa el valor positivo de la cantidad en el Valor Absoluto<img src="https://tex.z-dn.net/?f=ValorAbs%280%2Bh-1%29%3D1-h" /> que representa el valor positivo de la cantidad en el Valor Absoluto, por lo tanto, <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bh%20%5Cto%200%5E%7B%2B%7D%20%7D%20%5Cfrac%7B1%2Bh-%281-h%29%7D%7Bh%7D%3D%5Clim_%7Bh%20%5Cto%200%5E%7B%2B%7D%20%7D%20%5Cfrac%7B2h%7D%7Bh%7D%3D2" />Como se observa los límites laterales existen y ambos dan como resultado 2, por lo que se puede concluir que : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7BValorAbs%28x%2B1%29-ValorAbs%28x-1%29%7D%7Bx%7D%3D2" />.