Polinomios?

Parafactorizar un polinomioycalcular sus raícesvamos a seguir los siguientes pasos, cuando sean posibles :

Extraer factor común a un polinomioconsiste en aplicar lapropiedad distributiva.

A · x + b · x + c · x = x (a + b + c)

Unaraíz del polinomioserá siemprex = 0

Descomponer en factores sacando factor común y hallar las raíces de :

1x3 + x2 = x2(x + 1)

Laraícesson : x = 0 y x = − 1

22x4 + 4x2 = 2x2(x2 + 2)

Sólo tiene unaraízX = 0 ; ya que el polinomio, x2 + 2, no tiene ningún valor que lo anule ; debido a que al estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo, por tanto es irreducible.

3x2− ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)

Laraícesson x = a y x = b.

2

1Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.

A2− b2 = (a + b) · (a − b)

Descomponer en factores y hallar las raíces

1x2− 4 = (X + 2) · (X − 2)

Las raíces son X = − 2 y X = 2

2x4− 16 = (x2 + 4) · (x2− 4) = (X + 2) · (X − 2) · (x2 + 4)

Las raíces son X = − 2 y X = 2

2Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.

A2± 2 a b + b2 = (a ± b)2

Descomponer en factores los trinomio cuadrados perfectos y hallar sus raíces

La raíz es x = − 3.

La raíz es x = 2.

3ºTrinomio de segundo grado

Paradescomponer en factores el trinomio de segundo gradoP(x) = a x2 + bx + c , se iguala a cero y se resuelve la ecuación de 2º grado.

Si las soluciones a la ecuación son x1y x2, el polinomio descompuesto será :

a x2 + bx + c = a · (x - x1) · (x - x2)

Descomponer en factores los trinomios de segundo grado y hallar sus raíces

Las raíces son x = 3 y x = 2.

Las raíces son x = 3 y x = − 2.

Descomponer en factores los trinomios de cuarto grado de exponentes pares y hallar sus raíces

x4− 10x2 + 9

x2 = t

x4− 10x2 + 9 = 0

t2− 10t + 9 = 0

x4− 10x2 + 9 = (x + 1) · (x − 1) · (x + 3) · (x − 3)

x4− 2x2− 3

x2 = t

t2− 2t − 3 = 0

x4− 2x2 + 3 = (x2 + 1) · (x + ) · (x −)

4ºFactorización de un polinomio de grado superior a dos

Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.

Descomposición de un polinomio de grado superior a dos y cálculo de sus raíces

P(x) = 2x4 + x3− 8x2− x + 6

1Tomamos los divisores del término independiente : ±1, ±2, ±3.

2Aplicando elteorema del restosabremos para que valores la división es exacta.

P(1) = 2 · 14 + 13− 8 · 12− 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0

3Dividimos por Ruffini.

4Por ser la división exacta, D = d · c

(x −1) · (2x3 + 3x2− 5x − 6 )

Una raíz es x = 1.

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.

Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.

P(1) = 2 · 13 + 3 · 12− 5·1 − 6≠ 0

P(−1) = 2 · (− 1)3 + 3 ·(− 1)2− 5 · (− 1) − 6 = −2 + 3 + 5 − 6 = 0

(x −1) · (x + 1) · (2x2 + x −6).