¿Para qué valor de k, la parábola cuya función es f(x) = 2x ^ 2 + 2x + k, intersecta en un solo punto al eje de las abscisas?

Como<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20x%5E%7B2%7D%20%2B2x%2Bk" /> es una parábola vertical positiva (abre hacia arriba), la única manera de que inteseque al eje de las abscisas en un sólo punto es que este punto sea el vértice de la parábola, pues de otro modo tendría que intersecar en dos puntos.

Existe una fórmula para obtener la abscisa del vértice, que es :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%3D%20-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%20" />,

donde a, b y c son los coeficientes de la parábola, respectivamente

Lo que buscamos entonces es la abscisa tal que al evaluarla en la función, el resultado sea 0.

Veamos que independientemente del valor de k, podemos obtener esa abscisa utilizando la fórmula :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%3D-%20%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%3D%20-%5Cfrac%7B2%7D%7B2%282%29%7D%20%20%3D%5Cboxed%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20" />

Ahora evaluemos esta x en la función para obtener el valor de k.

Recordemos que el valor de k tiene que ser tal que f(x) sea igual a cero.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=0%20%3D%20f%28-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%29%20%3D%202%28-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%29%5E%7B2%7D%2B2%28-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%29%2Bk%20%5C%5C%200%3D%202%28%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%29-1%2Bk%20%5C%5C%200%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D-1%2Bk%20%5C%5C%20k%3D1-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%20%5C%5C%20%20k%3D%5Cboxed%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20" />

Espero te sirva : ).