Para calcular la longitud ( / ) de la escalera se aplica la formulasi a = 4 / 2 cm y b = 3 / 2 cm cuanto mide la escalera?

■Hallar unarazón decambio relacionada.

■Resolver problemas de lavida real con razones de cambio relacionadas.

Cálculo de razones decambio relacionadasYa se sabe cómousar la regla de lacadena para encontrardydxde manera implícita.

Otraaplicación relevante de la regla de la cadena consiste en encontrar razones de cambio de doso más variables relacionadas que están cambiando respecto altiempo.

Por ejemplo, cuando sale agua de un depósito cónico (figura 2.

33), el volumenV, elradiory la alturahdel nivel del agua son funciones det.

Sabiendo que estas magnitudesvariables se relacionan mediante la ecuaciónVrh32Ecuación original.

Se puede derivar implícitamente con respecto ata fin de obtener la ecuación derazonesde cambioddtVddtrhdVdtrdhdthrdrdtrdhdtrhdrdt().

33232222Diferenciar con respecto at.

Para esta ecuación se puede ver que la razón de cambio deVestá relacionada con la razónde cambio dehyr.

EXPLORACIÓNCálculo de una razón de cambio relacionadaSuponerqueeneltanquecónicoquesemuestra en la figura 2.

33, la altura está cambiando a un ritmo de0.

2 pies por minutoy el radio lo está haciendo a un ritmo de0.

1 pies por minuto.

¿Cuál es la razón decambio del volumen cuando el radio esr1 pie y la altura esh2 pies?

¿La razónde cambio del volumen depende de los valores deryh?

Explicar la respuesta.

EJEMPLO 1Dos razones de cambio relacionadasSeanxyydos funcionesderivables det, y relacionadas por la ecuaciónyx23.

Calculardydtparax1, sabiendo quedxdt2 parax1.

SoluciónDerivar ambos ladoscon respecto a t, utilizando la regla de la cadena.

Ecuación original.

Derivarconrespectoat.

Regladelacadena.

Cuandox1 ydxdt2, se tienedydt2124.

HrhrEl volumen está relacionado con el radio ycon la alturaFigura 2.

33PARA MAYOR INFORMACIÓNPara aprender más sobre la historia delos problemas de razones de cambiorelacionadas, ver el artículo “TheLengthening Shadow : The Storyof Related Rates”, de Bill Austin, Don Barry y David Berman, enMathematics Magazine.

Dydt2xdxdtddtyddtx23yx232.

6Razones de cambio relacionadasSECCIÓN 2.

6Razones de cambio relacionadas149hr.