Necesito resolver este ejecicio : Hallar todas las formas de la ecuación de un plano determinado por los res puntos siguientes : P = (4 ; 0 ; 0) Q = (2 ; 1 ; 0) R = (1 ; 0 ; 1)?

La forma inmediata es la ecuación vectorial paramétrica :

OR = OP + s.

U + t.

V

OR = (x, y, z) es el vector posición de un punto genéricodel plano

OP es el vector posición de un punto del plano.

U es un vector paralelo al plano

V es otro vector paralelo al plano, no paralelo con U

s y t son dos variables paramétricas reales.

U = QP = OP - OQ = (2, - 1, 0)

V = RP = OP - OR = (3, 0, - 1)

OP = (4, 0, 0)

La ecuación vectorial es : OR = (4, 0, 0) + s.

(2, - 1, 0) + t.

(3, 0, - 1)

Forma paramétrica :

x = 4 + 2.

S + 3.

T

y = 0 - s + 0.

T

z = 0 + 0.

S - t

La forma general del plano es Ax + By + Cz + D = 0

(A, B, C) son las coordenadas del vector normal al plano y D un número que depende de las coordenadas de un punto del plano.

El vector normal lo obtenemos del producto vectorial entre U y V

U∧ V = (1, 2, 3) Puedes verificar que este vector es perpendicular tanto a U como a V

Reemplazamos : x + 2y + 3z + D = 0 ; falta determinar D

El plano pasa por (4, 0, 0) ; por lo tanto D = - 4

Finalmente.

X + 2y + 3z - 4 = 0 es la forma general del plano.

Verificamos que contiene a los puntos Q y R

Punto Q : 2 + 2 .

1 + 0 - 4 = 0

Punto R : 1 + 0 + 3 .

1 - 4 = 0

Hay otra forma llamada forma normal de la ecuación.

X. cosα + y.

Cosβ + z.

CosФ - d = 0

Los ángulos son los ángulos directores del vector normal y d es la distancia desde el plano al origen de coordenadas.

Cosα = 1 / raíz[1² + 2² + 3²] = 1 / raíz[14] = 0, 267

cosβ = 2 / raíz[14] = 0, 534

cosФ = 3 / raíz[14] = 0, 802

d = 4 / raíz[14] = 1, 07

Reemplazamos y finalmente queda :

0, 267 x + 0, 534 y + 0, 802 z - 1, 07 = 0

Saludos Herminio.