Me pueden ayudar en estos 3 problemas de álgebra por favor?

Utilizando el teorema del binomio de Newton, podemos predecir que el término general tiene la forma :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%20%5Cleft%28%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Dn%5C%5Ci%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29%20a%5E%7Bn-i%7D%20b%5E%7Bi%7D%20%20" />

Donde :

n : es el exponente del binomio

i : posición del término en el desarrollo del binomio disminuido en 1

a, b : términos del binomio.

15. - Halle el término central de :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%28%5C%20%5Cdfrac%7Ba%7D%7Bx%7D%2B%20%5Cdfrac%7Bx%7D%7Ba%7D%20%5Cright%29%5E%7B10%7D%20" />

Solución : como n = 10 (el exponente), entonces la cantidad de términos es 11 y el término central es el quinto con lo que i = 5.

El quinto término tendrá la forma :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%28%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D10%5C%5C5%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29%20%5Ccdot%20%5Cleft%28%5C%20%5Cdfrac%7Ba%7D%7Bx%7D%5Cright%29%5E%7B10-5%7D%20%5Ccdot%5Cleft%28%5C%20%5Cdfrac%7Bx%7D%7Ba%7D%5Cright%29%5E%7B5%7D%3D%20%5Cleft%28%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D10%5C%5C5%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29%20%5Ccdot%20%5Cleft%28%5C%20%5Cdfrac%7B%20%5Cnot%7Ba%5E%7B5%7D%7D%7D%7B%20%20%5Cnot%7Bx%5E%7B5%7D%7D%20%7D%5Cright%29%20%5Ccdot%5Cleft%28%5C%20%5Cdfrac%7B%20%5Cnot%7Bx%5E%7B5%7D%7D%7D%7B%20%20%5Cnot%7Ba%5E%7B5%7D%7D%20%7D%5Cright%29%3D%5Cleft%28%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D10%5C%5C5%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29" />

Al hacer la simplificación, la respuesta queda dada por la combinación de 10 elementos tomados de 5 en 5 :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%28%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D10%5C%5C5%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29%3D%20%5Cdfrac%7B10%21%7D%7B5%21%20%5Ccdot%205%21%7D%3D%20%5Cdfrac%7B10%20%5Ccdot%209%20%5Ccdot%208%20%5Ccdot%207%20%5Ccdot%20%20%5Cnot%7B6%7D%20%5Ccdot%20%20%5Cnot%7B5%21%7D%7D%7B%20%5Cnot%7B5%21%7D%20%5Ccdot%205%20%5Ccdot%204%20%5Ccdot%20%20%5Cnot%7B3%7D%20%5Ccdot%20%20%5Cnot%7B2%7D%7D%20%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%5Cleft%28%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D10%5C%5C5%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29%3D%20%5Cboxed%7B252%7D" />

La respuesta es B)

16.

- Halle el término independiente de ''x'' si existe en la expansión de :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%28%5C%20%20%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%7D%20%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%5B6%5D%7Bx%7D%20%7D%5Cright%29%5E%7B12%7D%20" />

Solución : En este caso tenemos,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a%3D%20%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20b%3D%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%5B6%5D%7Bx%7D%20%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20n%3D12" />

Y el término general debe tener la forma :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%28%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D12%5C%5Ci%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29%20%5Ccdot%20%28%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%7D%20%29%5E%7B12-i%7D%20%5Ccdot%5Cleft%28%5C%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%5B6%5D%7Bx%7D%20%7D%5Cright%29%5E%7Bi%7D%20" />

Igualando a cero el exponente de ''x'' :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%7D%20%29%5E%7B12-i%7D%20%5Ccdot%5Cleft%28%5C%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%5B6%5D%7Bx%7D%20%7D%5Cright%29%5E%7Bi%7D%20%3D%20x%5E%7B0%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%28x%5E%7B1%2F3%7D%29%20%5E%7B12-i%7D%20%20%20%5Ccdot%20%28x%5E%7B-1%2F6%7D%29%5E%7Bi%7D%20%20%3D%20x%5E%7B0%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20x%5E%7B4-i%2F3%7D%20%5Ccdot%20x%5E%7B-i%2F6%7D%3D%20x%5E%7B0%7D%20%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20x%5E%7B4-i%2F3-i%2F6%7D%3D%20x%5E%7B0%7D%20%20%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%204-%20%5Cdfrac%7Bi%7D%7B3%7D-%20%5Cdfrac%7Bi%7D%7B6%7D%3D0%20%5C%5C%20%20%5C%5C%204%3D%20%5Cdfrac%7Bi%7D%7B2%7D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%5Cboxed%7Bi%3D8%7D%20%20%20" />

El término buscado es el octavo :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%28%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D12%5C%5C7%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29%20%5Ccdot%20%28%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%7D%29%5E%7B12-7%7D%20%5Ccdot%5Cleft%28%5C%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%5B6%5D%7Bx%7D%7D%5Cright%29%5E%7B7%7D%20" />

Sabemos que los términos que no contengan ''x'' se cancelarán por la premisa que usamos, y solo es cuestión de resolver :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%28%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D12%5C%5C7%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29%3D%20%5Cdfrac%7B12%21%7D%7B5%21%20%5Ccdot%207%21%7D%3D%20%5Cdfrac%7B12%20%5Ccdot%2011%20%5Ccdot%2010%20%5Ccdot%209%20%5Ccdot%208%20%5Ccdot%20%20%5Cnot%7B7%21%7D%7D%7B%20%5Cnot%7B7%21%7D%5Ccdot%205%20%5Ccdot%204%20%5Ccdot%203%20%5Ccdot%202%7D%20%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%5Cleft%28%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D12%5C%5C7%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29%3D%20%5Cboxed%7B792%7D" />

La respuesta es C)

17.

- Halle el lugar que ocupa un término del desarrollo :

[img = 10]

que tiene como parte literal a x¹⁵.

Solución : En este caso tenemos,

[img = 11]

Una vez más podemos anticipar la forma del término general :

[img = 12]

Ahora debemos igualar a x¹⁵ los términos que contengan x :

[img = 13]

Respuesta : Como la variable ''i'' representa el lugar del término disminuido en 1, la opción correcta es D)

¡¡Un saludo!