Me puede ayudar con el 1er ejercicio de ecuaciones diferenciales?

Tenemos el siguiente ejercicio :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28y%29%28y%27%29%3Dcos%28x%29" />

Pero si recuerdas que :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3D%20%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%20" />

La notación del apostrofe, la usó Newton, y la otra la usó Leibniz.

Entonces :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28y%29%28%20%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%20%29%3Dcos%28x%29" />

Y éstos ya es una ecuación diferencial de variables separables.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28y%29%28dy%29%3Dcos%28x%29%28dx%29" />

Integrando a cada lado :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%5Climits%20%7By%7D%20%5C%2C%20dy%3D%20%20%5Cint%5Climits%20%7Bcos%28x%29%7D%20%5C%2C%20dx%20" />

Éstas integrales ya las sabemos verdad.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B%20y%5E%7B2%7D%20%7D%7B2%7D%20%3Dsin%28x%29%2BC" />

pero ya nos dan una condición inicial.

Usémosla.

Ya condición nos dice :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%28%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%29%3D3" /> que es lo mismo que :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%29%3D3" />

donde sabemos que :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%3D%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%20%5C%5C%20y%3D3%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20Reemplacemos%3A%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%5Cfrac%7B%20%283%29%5E%7B2%7D%20%7D%7B2%7D%20%3Dsin%28%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%29%2BC%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20Pero%3Asin%28%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%29%3D1%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%5Cfrac%7B9%7D%7B2%7D%20%3D1%2BC%20%5C%5C%20C%3D%20%5Cfrac%7B7%7D%7B2%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20Finalmente%3A%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%5Cfrac%7B%20y%5E%7B2%7D%20%7D%7B2%7D%20%3Dsin%28%20x%29%2B%20%5Cfrac%7B7%7D%7B2%7D%20" />

Podemos trabajarle un poco para que se vea mejor.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20y%5E%7B2%7D%20%20%3D2%28sin%28%20x%29%2B%20%5Cfrac%7B7%7D%7B2%7D%29%20%5C%5C%20%20y%5E%7B2%7D%20%3D2sin%28x%29%2B7%20%5C%5C%20%20%5Csqrt%7B%20y%5E%7B2%7D%20%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B2sin%28x%29%2B7%7D%20%20%5C%5C%20%20%7Cy%7C%3D%20%5Csqrt%7B2sin%28x%29%2B7%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20Soluciones%3A%20%5C%5C%20y%3D-%20%5Csqrt%7B2sin%28x%29%2B7%7D%20%20%5C%5C%20y%3D%2B%20%5Csqrt%7B2sin%28x%29%2B7%7D%20" />

tenemos dos soluciones porque tenemos un valor absoluto una parte negativa y otra positiva

Y creo que hasta ahí está bien.

Espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas.