Los puntos A(1, 0), B(9, 2) Y C(3, 6) son los vertices de un triangulo encontara a) las ecuaciones de los lados ; b) las ecuaciones de las medianas y su punto de interseccion ; c) las ecuaciones de la?

1) lado AB : con los puntos A(1, 0) y B(9, 2), usamos la ecuacion de la recta que pasa por dos puntos : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7By-y_%7B1%7D%7D%7Bx-x_%7B1%7D%7D%3D%5Cfrac%7By_%7B2%7D-y_%7B1%7D%7D%7Bx_%7B2%7D-x_%7B1%7D%7D" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7By-0%7D%7Bx-1%7D%3D%5Cfrac%7B2-0%7D%7B9-1%7D%5C%20%5C%20%5C%20%5Cfrac%7By%7D%7Bx-1%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5C%20%5C%20%5C%204y%3Dx-1%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%204y-x%2B1%3D0" />

Lado BC : con los puntos B(9, 2)C(3, 6) ; lo mismo que la anterior :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7By-2%7D%7Bx-9%7D%3D%5Cfrac%7B6-2%7D%7B3-9%7D%5C%20%5C%20%5C%20%5Cfrac%7By-2%7D%7Bx-9%7D%3D-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5C%20%5C%20%5C%20%5C%203y-6%3D-2x%2B18%5C%20%5C%20%5C%20%5C%203y%2B2x-24%3D0" />

Lado CA : con los puntos C(3, 6) y A(1, 0)

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7By-6%7D%7Bx-3%7D%3D%5Cfrac%7B0-6%7D%7B1-3%7D%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cfrac%7By-6%7D%7Bx-3%7D%3D3%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20y-6%3D3x-9%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20y-3x%2B3%3D0" />

2) Ecuacion de las medianas : Encontremos los puntos medios de cada lado :

AB : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28%5Cfrac%7Bx_%7B2%7D%2Bx_%7B1%7D%7D%7B2%7D%2C%5Cfrac%7By_%7B2%7D%2By_%7B1%7D%7D%7B2%7D%29" />

Si A(1, 0) y B(9, 2) D = ((1 + 9) / 2, (2 + 0) / 2) D = (5, 1), la recta que une al punto D con el vertice C sera mediana.

Utiliamos la ecuacion de la recta que pasa por dos puntos :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7By-6%7D%7Bx-3%7D%3D%5Cfrac%7B1-6%7D%7B5-3%7D%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cfrac%7By-6%7D%7Bx-3%7D%3D-%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%5C%20%5C%20%5C%20%5C%202y-12%3D-5x%2B15%5C%20%5C%20%5C%202y%2B5x-27%3D0" />

BC : B(9, 2) C(3, 6)

E = ((9 + 3) / 2, (6 + 2) / 2) = E = (6, 4) La recta que une al punto E con el vertice A sera mediana :

A(1, 0) y E(6, 4) :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7By-0%7D%7Bx-1%7D%3D%5Cfrac%7B4-0%7D%7B6-1%7D%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cfrac%7By%7D%7Bx-1%7D%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B5%7D%5C%20%5C%20%5C%20%5C%205y%3D4x-4%5C%20%5C%20%5C%20%5C%205y-4x%2B4%3D0" />

Lado CA : C(3, 6) y A(1, 0)

F((3 + 1) / 2, (6 + 0) / 2) : F = (2, 3) La recta que une al punto F con el vertice B sera mediana :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7By-2%7D%7Bx-9%7D%3D%5Cfrac%7B3-2%7D%7B2-9%7D%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cfrac%7By-2%7D%7Bx-9%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B7%7D%5C%20%5C%20%5C%20%5C%207y-14%3D-x%2B9%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%207y%2Bx-23%3D0" />

Para encontrar el punto de interseccion de las medianas hacemos un sistema de ecuaciones con 2 de ellas :

7y + x - 23 = 0 x 4 28y + 4x - 92 = 0

5y - 4x + 4 = 0 5y - 4x + 4 = 0 ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨ 33y - 88 = 0 y = 88 / 33 ; y = 8 / 3

Sustituimos el valor de y en la ecuacion : 7y + x - 23 = 0

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=7%28%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%29%2Bx-23%3D0%5C%20%5C%20%5C%20x%3D13%2F3" />

El punto de interseccion de las medianas es G(13 / 3, 8 / 3)

3)En untriángulola altura respecto de un lado, es el segmento que va desde el pie de laperpendiculara dicho lado o a su prolongación hasta elvérticeopuesto a dicho lado.

A) Altura correspondiente al lado AB ; la pendiente del lado AB es m = 1 / 4, entonces la recta perpendicular tendra pendiente = m = - 1 / (1 / 4) ; m = - 4 ; el vertice opuesto es el C ; construimos la recta con la ecuacion punto pendiente : (y - y1) = m(x - x1)

y - 6 = - 4(x - 3) ; y - 6 = - 4x + 12 ; y + 4x - 18 = 0Altura 1

b)Altura correspondiente al lado BC ; la pendiente del lado BC es m = - 2 / 3, entonces la recta perpendicular tendra pendiente = m = - 1 / ( - 2 / 3) ; m = 3 / 2 ; el vertice opuesto es el A(1, 0)

y - 0 = 3 / 2(x - 1) ; 2y = 3x - 3 ; 2y - 3x + 3 = 0Altura 2

c)Altura correspondiente al lado CA ; la pendiente del lado CA es m = 3, entonces la recta perpendicular tendra pendiente = m = - 1 / (3) ; m = - 1 / 3 ; el vertice opuesto es el B(9, 2)

y - 2 = - 1 / 3(x - 9) ; 3y - 6 = - x + 9 ; 3y + x - 15 = 0Altura 3

El punto interseccion u ortocentro lo hacemos con dos de las tres alturas :

2y - 3x + 3 = 0 2y - 3x + 3 = 0

3y + x - 15 = 0 x3 9y + 3x - 45 = 0 ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨ 11y - 42 = 0 y = 42 / 11 ; sustituimos el valor de y en la ecuacion 2y - 3x + 3 = 0

2(42 / 11) - 3x + 3 = 0 x = - 39 / 11 La interseccion de las tres alturas corresponden al punto : H (39 / 11, 42 / 11).

Exito.