Lmite de cuando x tiende a 1, de x al cubo menos tres sobre, x menos 1?

Primer problema :

lim (√x - 1) / (x - 1)

x→1

Si sustituimos x = 1 da una indeterminación 0 / 0.

Racionalizamos el numerador multiplicando por √x + 1 tanto en el numerador como en el denominador :

lim [(√x - 1)(√x + 1)] / [(x - 1)(√x + 1)]

x→1

El numerador tiene ahora un producto de binomios conjugados, que al multiplicarse dan una diferencia de cuadrados :

lim [(√x)² - 1²)] / [(x - 1)(√x + 1)]

x→1

lim (x - 1) / [(x - 1)(√x + 1)]

x→1

Simplificando x - 1 :

lim 1 / (√x + 1)

x→1

Sustituyendo x = 1 = 1 / (√x + 1) = 1 / 2

~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~

Segundo problema

lim (2x² - x - 3) / (x³ + 2x² + 6x + 5)

x→ - 1

Sustituyendo x = - 1 nos da 0 / 0

Factorizando el polinomio 2x² - x - 3 = (2x + a)(x + b), se buscan dos números a y b que multiplicados den - 3, tal que 2b + a = - 1.

Esos números son - 3 y 1

lim [(2x - 3)(x + 1)] / (x³ + 2x² + 6x + 5)

x→ - 1

Esto significa que el polinomio x³ + 2x² + 6x + 5 tiene alguno de los factores (2x - 3) o (x + 1), puesto que es lo que provoca la indeterminación.

Probando si es divisible entre x + 1, por division sintética :

.

. | 1 .

2 . 6 .

5 - 1 | .

. - 1 .

- 1 .

- 5 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

.

. 1 .

1 . 5 .

0

El residuo es cero y el poinomio x³ + 2x² + 6x + 5 = (x + 1)(x² + x + 5)

lim [(2x - 3)(x + 1)] / [(x + 1)(x² + x + 5)]

x→ - 1

Simplificando el factor x + 1 :

lim (2x - 3) / (x² + x + 5)

x→ - 1

Sustituyendo x = - 1 = (2( - 1) - 3) / (( - 1)² + ( - 1) + 5) = ( - 2 - 3) / (1 - 1 + 5) = - 5 / 5 = - 1

~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~

Tercer problema :

lim (x³ - x² - x + 10) / (x² + 3x + 2)

x→ - 2

Factorizando x² + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1), se concluye que x³ - x² - x + 10 debe ser divisible entre el factor x + 2, que es el que provoca la indeterminación al sustituir x = - 2.

Usando división sintética

.

. | 1 .

- 1 .

- 1 .

10 - 2 | .

. - 2 .

6 . - 10 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

.

. . 1 .

- 3 .

5 . 0

lim [(x² - 3x + 5)(x + 2)] / [(x + 2)(x + 1)]

x→ - 2

lim (x² - 3x + 5) / (x + 1)

x→ - 2

Sustituyendo x = - 2 = (( - 2)² - 3( - 2) + 5) / (( - 2) + 1) = (4 + 6 + 5) / ( - 1) = - 15.