Limite cuando ´´x`` tiende a ´´1`` \ lim_{x \ to \ one} \ frac{nx ^ {n + 1} - (n + 1) x ^ {n} + 1}{ x ^ {p + 1} - x ^ {p} - x + 1 } [ / tex]por favor ayuda?

10. 2.

Soluciones desarrolladas

Nada se aprende mirando las soluciones sin haber estudiado antes la teor´ıa e intentado

los problemas.

En algunos casos estas soluciones son un poco esquem´aticas.

Se deja al lector

completar los detalles.

Numeros ´ naturales, racionales y reales

1) a) O bien denominador y numerador son ambos positivos o bien son ambos negativos.

El primer caso requiere x < 1 y (x + 2)(x − 3) < 0.

Esto ultimo ´ ocurre s´olo si x ∈ (−2, 3), por

tanto x ∈ (−2, 1).

El segundo caso requiere de la misma forma x > 1 y (x + 2)(x − 3) > 0 que

se dan simult´aneamente para x > 3.

Por consiguiente la soluci´on es (−2, 1) ∪ (3, ∞).

B) Si x ≥ −1 entonces la ecuaci´on es (x + 1) + (x + 3) < 5 que equivale a x < 1 / 2.

Si

−3 ≤ x ≤ −1 entonces la ecuaci´on es −(x + 1) + (x + 3) < 5 que se cumple siempre.

Finalmente,

si x ≤ −3 entonces la ecuaci´on es −(x + 1) − (x + 3) < 5 que equivale a x > −9 / 2.

Combinando estos tres casos se obtiene la soluci´on (−9 / 2, −3] ∪ [−3, −1] ∪ [−1, 1 / 2), es

decir, (−9 / 2, 1 / 2).

2) a) Falso por ejemplo para x = 1, y = 2.

B) √xy ≤

x + y

2

⇔ 2

√xy ≤ x + y ⇔ 4xy ≤ x

2 + 2xy + y

2 ⇔ 0 ≤ x

2 − 2xy + y

2 y esto

se cumple siempre porque el segundo miembro es (x − y)

2

.

3) Claramente se cumple para n = 1 porque 1

2 = 1(1 + 1)(2 + 1) / 6.

Ahora partiendo de

la identidad del enunciado tenemos que llegar a la misma cambiando n por n + 1.

Con este

fin sumamos (n + 1)2

en ambos miembros.

El primer miembro es lo que esperamos y podemos

manipular el segundo de la siguiente forma :

n(n + 1)(2n + 1)

6 + (n + 1)2 =

n + 1

6

n(2n + 1) + 6(n + 1) =

n + 1

6

2n

2 + 7n + 6

.

Factorizando, 2n

2 + 7n + 6 = (n + 2)(2n + 3) y se obtiene entonces que la expresi´on anterior

es (n + 1)

(n + 1) + 1

2(n + 1) + 1 / 6, como deseamos.