La tercera parte de lo que tiene juan más la cuarta parte de lo que tiene ramón es igual a 16 $ a ramón entonces la quinta parte de lo juan más la sexta parte de lo ramón serian 10 $?

Llamamos "x" a lo que tiene Juan

Llamamos "y" a lo que tiene Ramón

Podemos plantear un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7B%5Cfrac%7Bx%7D%7B3%7D%2B%20%20%5Cfrac%7By%7D%7B4%7D%20%3D16%7D%20%5Catop%20%7B%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B5%7D%2B%20%20%5Cfrac%7By%7D%7B6%7D%20%3D10%7D%7D%20%5Cright.%20%20" />

Operamos en la ecuaciones

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B3%7D%2B%20%20%5Cfrac%7By%7D%7B4%7D%20%3D16" />

igualamos denominadores hallando el mcm de 3 y 4 que es 12.

Ahora dividimos 12 por cada denominador, el cociente lo multiplicamos por el numerador y ponemos 12 como denominador.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B4x%2B3y%7D%7B12%7D%20%3D16" />

Ahora el 12 que está dividiendo lo pasamos al otro lado de la igualdad multiplicando

4x + 3y = 16 * 12

4x + 3y = 192

Ahora operamos de la misma forma en la otrs ecuación

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B5%7D%2B%20%20%5Cfrac%7By%7D%7B6%7D%20%3D10%0A" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B6x%2B5y%7D%7B30%7D%20%3D10" />

6x + 5y = 10 * 30

6x + 5y = 300

Ahora volvemos a plantear el sistema

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7B4x%2B3y%3D192%7D%20%5Catop%20%7B6x%2B5y%3D300%7D%7D%20%5Cright.%20" />

Uso el método de sustitución, despejando x en la primera ecuación y sustituyendo el resultado en la segunda.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%3D%20%5Cfrac%7B192-3y%7D%7B4%7D%20" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=6%2A%28%20%5Cfrac%7B192-3y%7D%7B4%7D%20%29%2B5y%3D300" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B1152-18y%7D%7B4%7D%20%2B5y%3D300" />

multiplicamos todo por 4 para quitar el denominador

1152 - 18y + 20y = 1200 - 18y + 20y = 1200 - 1152

2y = 48

y = 48÷2 = 24

Ahora sustituimos el valor de y en la ecuación en que despejamos x

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%3D%20%5Cfrac%7B192-3y%7D%7B4%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B192-%283%2A24%29%7D%7B4%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B192-72%7D%7B4%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B120%7D%7B4%7D%20%3D30" />

Solución :

Juan tiene 30$

Ramón tiene 24$

Comprobamos

1 / 3 parte de Juan + 1 / 4 parte de Ramón = 10 + 6 = 16

1 / 5 parte de juan + 1 / 6 parte de Ramón = 6 + 4 = 10.