La suma de tres cuadrados de 2018?

Conociendo la altura de una ventana y la distancia de un punto de la calle a la pared de la ventana, se quiere calcular la longitud de una escalera cuyo pie descanse en el punto anterior y el extremo superior alcance el marco inferior de la ventana.

Para resolver podemos modelar con un triángulo rectángulo : para lo cual un cateto h es la altura de la ventana, la distancia d del pie de escalera, el otro cateto ; y la hipotenusa e, la longitud de la escalera.

La fórmula resultante es e2 = h2 + d2(1).

Pero si queremos calcular la diagonal de un salón de clases, pensado como un prisma rectangular recto, necesitamos conocer tres medidas previas.

[1]. Contenido[ocultar]1Datos1.

1Suma de dos cuadrados1.

2Suma de tres cuadrados2ReferenciasDatosAncho : aLargo : lAltura : h, todos ellos en la misma unidad de longitud.

Por calcularDiagonal : dExigenciaLas tres medidas previas deben estar en números enteros positivos y cumplan la fórmula (1).

Suma de dos cuadradosSe conoce que la fórmula (p2 - q2)2 + ( 4p2 )× (q2), con toda seguridad no da el cuadrado de un tercer número, precisamente (p2 + q2)2, que es un cuadrado perfecto[2].

Pero necesitamos sumar tres enteros cuadrados cuya suma sea también un cuadrado.

O en una versión más simplificada (p2 - 1 )2 + 4p2 = (p2 + 1 )2Suma de tres cuadradosFijándonos en la fórmula simplificada anterior podemos lanzar el patrón plausible : (p2 + q2 - 1 )2 + 4p24q2 = (p2 + q2 + 1 )2 ; desarrollando en ambos miembros comprobamos la identidad y dicha fórmula resuelve el problema de hallar tres enteros cuadrados perfectos cuya suma sea también un cuadrado perfecto.

Caso numéricoConsiderando p = 3, q = 2 se obtiene la terna (12, 6, 4 ) que da como suma cuadrática 14, en efecto 122 + 62 + 42 = 142.

ReferenciasVolver arriba↑Jorge Polya : Cómo plantear y resolver problemas, Editorial Trillas, Ciudad de México , cuarta reimpresión, junio de 1974 ; traducción de Prof.

Julián ZugazagastiaVolver arriba↑A.

A. Belski / L.

A. Kaluzhnin : División exacta, Editorial Mir, Moscú, 1980 ; traduce del ruso : Anonio, Molina GarcíaCategorías : GeometríaMatemáticas.