La suma de los extremos de una proporción geométrica continua es 104?
La suma de los extremos de una proporción geométrica continua es 104. Hallar la media proporcional, si la razón es 2 / 3.
En resumen
En este tipo de proporciones, los medios son iguales, es decir que sería de esta forma. <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bx%7D%7By%7D%20%3D%20%5Cfrac%7By%7D%7Bz%7D%20" /> Si los extremos suman 104, se plantea : x + z = 104 Y de ahí se despeja .
Mejor respuesta
En este tipo de proporciones, los medios son iguales, es decir que sería de esta forma.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bx%7D%7By%7D%20%3D%20%5Cfrac%7By%7D%7Bz%7D%20" />
Si los extremos suman 104, se plantea : x + z = 104
Y de ahí se despeja .
Z = 104 - x
Sustituyo eso en la proporción y me queda esto :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bx%7D%7By%7D%20%3D%20%5Cfrac%7By%7D%7B104-x%7D%20" />
Si la razón es 2 / 3, también se plantea esta otra proporción :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bx%7D%7By%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20" />
Con ello tienes un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.
Modifico la 1ª ecuación :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bx%7D%7By%7D%20%3D%20%5Cfrac%7By%7D%7B104-x%7D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20104x-x%5E2%3Dy%5E2" />
Modifico la 2ª ecuación :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bx%7D%7By%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%203x%3D2y%20%5C%20%5C%20%5C%20elevo%5C%20los%5C%20dos%5C%20terminos%5C%20al%5C%20cuadrado...%20%5C%5C%20%20%5C%5C%209x%5E2%3D4y%5E2%20%5C%20%5C%20%5C%20despejo%20%20%5C%20%5C%20y%5E2%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20y%5E2%3D%20%5Cfrac%7B9x%5E2%7D%7B4%7D%20" />
Resuelvo por igualación.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=104x-x%5E2%3D%5Cfrac%7B9x%5E2%7D%7B4%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20416x-4x%5E2%3D9x%5E2%20%5C%5C%20%5C%5C%2013x%5E2-416x%3D0%20%5C%5C%20%5C%5C%20x%2A%2813x-416%29%3D0%20%5C%5C%20%20%5C%5C%201%5C%C2%AA%20%5C%20solucion%3A%5C%20x%3D0%20%5C%5C%20%20%5C%5C%202%5C%C2%AA%20%5C%20solucion%3A%5C%2013x-416%3D0%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20x%3D%20%5Cfrac%7B416%7D%7B13%7D%3D32%20" />
Desestimando la solución cero, tenemos que x = 32
Nos pide hallar la media proporcional que es la incógnita "y",
Se sustituye el valor de "x" en la 2ª ecuación.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B32%7D%7By%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20y%3D%20%5Cfrac%7B32%2A3%7D%7B2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B96%7D%7B2%7D%20%3D48" />
Saludos.