¿la suma de dos números impares consecutivos cualquiera es divisible entre 2 ¿por que ?

La forma algebraica de escribir un número par es 2x, ya que cualquiera que sea el valor de x, al multiplicarlo por 2 obtendríamos un número par.

Ejemplos :

Tomemos como valor de x un número impar, por ejemplo 3, al multiplicarlo por 2 obtenemos 6, que es un número par

Tomemos como valor de x un número par, por ejemplo 4, al multiplicarlo por 2 obtenemos 8, que también es un número par.

Un número impar lo expresaríamos por tanto con la expresión 2x + 1, ya que si sumamos una unidad a un número par el resultado es un número impar.

Sumamos dos números impares consecutivos 2x + 1 + 2x + 3 = 4x + 4

4x + 4 es divisible por 2, ya que 4x sería el doble de 2x, que ya dijimos que es la forma de expresar un número par, y por lo tanto será un número par, si a ese número par le sumamos otro número par, como es 4, la suma seguirá siendo un número par y por tanto divisible entre 2.

(4x + 2)÷2 = 2x + 2.