La producción de arroz de este año a nivel nacionales a56a17b kg pero coincidentemente los 8 departamentos productores han tenido la misma producción?

¡Buenas!

Tema : Divisibilidad<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctextbf%7BProblema%20%3A%7D" />La producción de arroz de este año a nivel nacionales <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Coverline%7Ba56a17b%7D%5C%20%5Ctextrm%7Bkg%7D" /> pero coincidentemente los <img src="https://tex.z-dn.net/?f=8" /> departamentos productores han tenido la misma producción.

Calcule <img src="https://tex.z-dn.net/?f=a%2Bb" /> si la producción total es la menor posible.

RESOLUCIÓNAsumiremos que cada departamento productor produce una cantidad entera de arroz, es decir, pueden producir <img src="https://tex.z-dn.net/?f=101%5C%20%5Ctextrm%7Bkg%7D" />, <img src="https://tex.z-dn.net/?f=415%5C%20%5Ctextrm%7Bkg%7D" />, <img src="https://tex.z-dn.net/?f=24%5C%20%5Ctextrm%7Bkg%7D" /> o sea cantidades enteras, pero no pueden producir <img src="https://tex.z-dn.net/?f=295.33%5C%20%5Ctextrm%7Bkg%7D" />, <img src="https://tex.z-dn.net/?f=91.52%5C%20%5Ctextrm%7Bkg%7D" /> porque estos no son números enteros.

Según el problema, cada departamento produjo la misma cantidad de arroz, a la cantidad de arroz producido por cada departamento la llamaremos <img src="https://tex.z-dn.net/?f=n" />, y al ser [img = 10] los departamentos, entonces en total se produjeron [img = 11] de arroz.

Como la producción total es de [img = 12] entonces [img = 13] y como [img = 14] es un número entero, en consecuencia [img = 15] es un múltiplo de [img = 16].

Lo cual lo representaremos con la siguiente notación.

[img = 17] Si [img = 18] es múltiplo de [img = 19] entonces [img = 20] es múltiplo de [img = 21].

Lo cual lo probaremos ahora mismo.

[img = 22]En la prueba se puede observar que el numeral puede escribirse como un múltiplo de [img = 23] aumentando en [img = 24] por ende si el numeral es múltiplo de [img = 25] en consecuencia [img = 26] es múltiplo de [img = 27].

[img = 28][img = 29]Ahora sabemos que [img = 30] es un múltiplo de [img = 31] aumentado en [img = 32], con esto solo existe un posible valor para [img = 33] y es [img = 34] tenga en cuenta que [img = 35] es una cifra, por tanto solo puede variar desde cero hasta nueve [img = 36].

Con esto el numeral es [img = 37] múltiplo de [img = 38] sin importar que valores asumamos para [img = 39], pero como piden el menor numeral posible, esto ocurre cuando [img = 40].

Porque la primera cifra es [img = 41] y mientras más grande es la primera cifra mayor será el numeral.

Note que [img = 42] no es posible, porque de ser así la primera cifra del numeral sería [img = 43] lo cual carece de sentido.

En conclusión la menor producción posible es [img = 44] con [img = 45] y [img = 46] entonces [img = 47].

RESPUESTA[img = 48].