La figura muestra cinco círculos grandes de 1 cm de radio con centros en A B C D y O ; cuatro círculos pequeños de igual radio que tienen puntos en común con tres de los círculos grandes, ¿cuál es la ?

Respuesta : r = (√2 - 1) cmExplicación paso a paso : como se observa en la figura, los cuatro centros de los círculos A, B, C y D forman un cuadrado, en dicha figura sus cuatro lados son iguales y para este caso se puede deducir para cualquiera de ellos que L valeL = 2cm + ddonde d es el diámetro de cualquiera de los círculos naranjas por lo también representa el diámetro del circulo con centro en Eahora se va a emplear el teorema de pitagoras para calcular el diámetro dse va a expresar el teorema para el triangulo rectángulo ADB L² + L² = DB² (1)como se trata de un cuadrado, al dividirlo con la diagonal DB se forman dos triángulos rectángulos de igual base y altura que valen L.

El valor de la diagonal DB se se deduce del gráfico, observar que dicha diagonal es la suma de los radios de los círculos con centro en B y D, mas el diámetro del circulo con centro en O, por lo tantoDB = 1cm + 2cm + 1cm = 4cmreemplazando el valor de DB en la expresión (1) se tieneL² + L² = (4cm)²2L² = 16cm²L² = 8cm²L = √8cm que también se puede expresar comoL = 2√2 cmpero como L = 2cm + d se tendría2cm + d = 2√2 cm se despeja dd = 2√2 cm - 2cmd = 2(√2 - 1) cmcomo se nos pide el radio se debe dividir al diámetro d por 2, es decirr = d / 2 donde r es el radio no solo del circulo con centro en E, sino también de los restantes círculos naranjasentoncesr = 2(√2 - 1)cm / 2 ⇒ r = (√2 - 1) cm ⇒ r ≅0, 41 cm.