La figura muestra 3 circulos iguales tangentes entre si , si el area de la region sombreada es 64raiz cuadrada de 3 - 32π ¿Cual es el radio del circulo? (UTILIZANDO EL TRIANGULO EQUILATERO) tomando encuenta que la primera foto no tiene el triangulo equilatero todavia.
Pregunta de Matemáticas · 1 respuesta · mejor respuesta de Raquelmatoss5843
En resumen
Conocemos el área total del triángulo equilatero, cuya fórmula es : <img src="https://tex.z-dn.net/?
Conocemos el área total del triángulo equilatero, cuya fórmula es :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=AREA%20%3D%20%20%5Cfrac%7B%20%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%7B4%7D%20%2A%20a%5E%7B2%7D%20" />
Donde a es la medida del lado de los triángulos
Por otra parte el área total del triángulo equilatero será :
Área triángulo = Área zona sombreada + 3 veces el área de 1 / 6 de circunferencia
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%20%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%7B4%7D%20%2A%20a%5E%7B2%7D%20%3D64%20%5Csqrt%7B32%20%5Cpi%20%7D%20%2B%203%2A%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20r%5E%7B2%7D%20%7D%7B6%7D%20" /> * Nota : No tome el área sombreada como√3 - 32π, ya que esto no puede resolverse no existen raíces de números negativos
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%20%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%7B4%7D%20%2A%20a%5E%7B2%7D%20%3D64%20%5Csqrt%7B32%20%5Cpi%20%7D%20%2B%20%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20r%5E%7B2%7D%20%7D%7B2%7D%20" />
Si observamos el dibujo se puede deducir que la mitad de un lado es igual al radio del circulo, entonces :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Ba%7D%7B2%7D%20%3Dr" />, si despejamos a
a = 2r, sustituimos esto en la relación planteada
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%20%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%7B4%7D%20%2A%20%282r%29%5E%7B2%7D%20%3D64%20%5Csqrt%7B32%20%5Cpi%20%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20r%5E%7B2%7D%20%7D%7B2%7D" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%20%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%7B4%7D%20%2A%204r%5E%7B2%7D%20%3D64%20%5Csqrt%7B32%20%5Cpi%20%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20r%5E%7B2%7D%20%7D%7B2%7D" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%7B3%7D%20r%5E%7B2%7D%20%20%20%3D64%20%5Csqrt%7B32%20%5Cpi%20%7D%20%2B%200.5%20%5Cpi%20%20r%5E%7B2%7D%20" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%7B3%7D%20r%5E%7B2%7D%20%20%20-%200.5%20%5Cpi%20%20r%5E%7B2%7D%20%3D64%20%5Csqrt%7B32%20%5Cpi%20%7D" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=0.16r%5E%7B2%7D%20%3D64%20%5Csqrt%7B32%20%5Cpi%20%7D" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=0.16r%5E%7B2%7D%20%3D641.7" />
[img = 10].
Conocemos el área total del triángulo equilatero, cuya fórmula es : <img src="https://tex.z-dn.net/?
Sean X el lado del cuadrado e Y el lado del triángulo. Los perímetros son iguales : 4 X = 3 Y El área del cuadrado : Ac = X² El área del triángulo : At = b. H / 2 b = Y, h = Y sen 60° ; At = Y Y sen 60° / 2 = 0, 433 Y²…
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El lado del triángulo es L el área del triangulo es base x altura / 2 luego la altura está determinada por el triangulo rectangulo que se forma con hipotenusa L y un cateto L / 2, luego despejando : L ^ 2 = (L / 2) ^ 2…