La dueña de un edificio de departamentos puede rentar el total de 50 departamentos si cobra $600 por mes, pero renta un departamento menos por cada incremento de 20 pesos en la renta mensual?

Primero hallamos la ecuacion que nos determina el numero de departamentos ocupados dependiendo de la renta

Variable Independiente : Renta

Variable dependiente : Departamentos

X1 = 600 ; Y1 = 50

X2 = 620 ; Y2 = 49

[(X - X1) / (X2 - X1)] = [(Y - Y1) / (Y2 - Y1)]

[(X - 600) / (620 - 600)] = [(Y - 50) / (49 - 50)]

(X - 600) / (20) = (Y - 50) / ( - 1)

( - 1)(X - 600) = 20(Y - 50) - X + 600 = 20Y - 1000

20Y = - X + 1600 (Divido toda la expresion entre 20)

Y = - X / 20 + 80 (Ecuacion que nos determina el numero de departamentos ocupados dependiendo de la Renta)

El ingreso seria el numero de habitaciones ocupadas por la renta que se recibe por cada una :

Y = - X / 20 + 80 (Multiplico la expresion por X)

G(X) = - X² / 20 + 80X

Aplico el criterio de la primera derivada

G´(X) = 2( - X) / 20 + 80

G´(X) = - X / 10 + 80 (Hago la expresion igual a 0)

0 = - X / 10 + 80

X / 10 = 80

X = 800

Ahora aplico el criterio de la segunda derivada para saber si para X = 800, tengo un maximo o un minimo

G´´(X) = - 1 / 10 (Tendria un maximo)

Entonces deberia cobrar $800 para tener el maximo ingreso

G(X) = - (800)² / 20 + 80(800)

G(X) = - 32000 + 64000

G(X) = 32000

Ahora el numero de departamentos que renta seria :

Y = - X / 20 + 80

Y = - 800 / 20 + 80

Y = - 40 + 80

Y = 40

Entonces rentando 40 departamento tendria el maximo ingreso.