(k + 3)x ^ 2 + 2k(x + 1) + 3 = 0hallar el valor de k para que una raiz sea igual a la mitad del reciproco de la otra?

Sabemos que podemos encontrar las raíces de un polinomio de segundo grado con la resolvente :

sea el polinomio : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20ax%5E%7B2%7D%20-bx%2Bc%20" />

sus raíces son :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20x_%7B1%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B-b%2B%5Csqrt%7Bb%5E%7B2%7D-4ac%7D%7D%7B2a%7D%20" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20x_%7B2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B-b-%5Csqrt%7Bb%5E%7B2%7D-4ac%7D%7D%7B2a%7D%20" />

Primero desarrollamos el polinomio :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%28k%2B3%29x%5E%7B2%7D%20%2B%282k%29x%2B%282k%2B3%29%20" /> , por lo tanto : - a = k + 3 - b = 2k - c = 2k + 3

Por lo que las raíces del polinomio dado son :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20x_%7B1%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B-2k%2B%5Csqrt%7B4k%5E%7B2%7D-4%28k%2B3%29%282k%2B3%29%7D%7D%7B2%28k%2B3%29%7D%20" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20x_%7B2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B-2k-%5Csqrt%7B4k%5E%7B2%7D-4%28k%2B3%29%282k%2B3%29%7D%7D%7B2%28k%2B3%29%7D%20" />

Reciproco : Dado un número "a" el reciproco de "a" es número "b", tal que a * b = 1.

Para el conjunto de los reales el reciproco de a es 1 / a.

Quiero que la segunda raíz sea igual a la mitad del reciproco de la otra : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%28x_%7B2%7D%29%7D%20" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%28-2k%2B%5Csqrt%7B4k%5E%7B2%7D-4%28k%2B3%29%282k%2B3%29%7D%29%2A%28-2k-%5Csqrt%7B4k%5E%7B2%7D-4%28k%2B3%29%282k%2B3%29%7D%29%3D%28k%2B3%29%2A2%28k%2B3%29%20" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%28-2k%29%5E%7B2%7D-%28%5Csqrt%7B4k%5E%7B2%7D-4%28k%2B3%29%282k%2B3%29%7D%29%5E%7B2%7D%3D2%2A%28k%2B3%29%5E%7B2%7D%20%20%20%20" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%204k%5E%7B2%7D-%284k%5E%7B2%7D-4%28k%2B3%29%282k%2B3%29%29%3D2%2A%28k%5E%7B2%7D%20%2B6k%2B9%29%20%20%20" />

[img = 10]

[img = 11]

[img = 12]

[img = 13]

k = - 3 ó k = - 1

Se puede probar utilizando que la segunda raíz es la que es la mitad del reciproco de la segunda y obtendremos lo mismo.

(pues no es relevante al resolver el sistema, nos queda igual)

Ahora si k = - 3, no tendría 2 raíces ya que el polinomio seria de primer grado.

Si k = - 1 el polinomio sera :

[img = 14]

Que no tiene raíces reales, por lo tanto, queda demostrado que no existe k que cumpla la condición.