Integral de (1 - cos2x / 2x - sen2x)dx?

Hola,

Estas integrales si no son logarítmicas son muy complejas de realizar ya que involucran funciones trigonométricas y además variables algebraicas, por lo tanto, la primera aproximación sería viendo la relación entre sus derivadas, veamos :

Digamos que ,

u = 2x - sen(2x)

Derivamos,

du = (2 - 2cos(2x))dx

du = 2(1 - cos(2x))dx

du / 2 = (1 - cos(2x))dx

Sustituimos en la integral,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%5Climits%7B%20%5Cfrac%7B1-cos%282x%29%7D%7B2x-sen%282x%29%7D%20%7D%20%5C%2C%20dx%20%20%3D%20%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cint%5Climits%7B%20%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bu%7D%7D%20%7D%20%5C%2C%20" />

Sabemos que :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%5Climits%20%7B%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bx%7D%20%7D%20%5C%20%3D%20ln%28x%29%20%2B%20C%20" />

Usando esto, la integral respecto a u es :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cint%5Climits%7B%20%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bu%7D%7D%20%7D%20%3D%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dln%28u%29%20%2B%20C%20%20" />

Volvemos a la variable original :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7B%5Cint%5Climits%7B%20%5Cfrac%7B1-cos%282x%29%7D%7B2x-sen%282x%29%7D%20%7D%20%3D%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dln%282x-sen%282x%29%29%20%2B%20C%7D%20" />

Salu2 : ).