Integral de (1 / 1 + 2x ^ 2)dx?
Integral de (1 / 1 + 2x ^ 2)dx.
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En resumen
Hola, Sea la integral del tipo : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%5Climits%20%7B%20%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7B1%2Bax%5E%7B2%7D%7D%20%7D%20%5C%2C%20" /> La idea es llegar a la conocida integral de arcotangente, que es : <img src="https://tex.z-dn.net/?
Mejor respuesta
Danielitalicet
Hola,
Sea la integral del tipo :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%5Climits%20%7B%20%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7B1%2Bax%5E%7B2%7D%7D%20%7D%20%5C%2C%20" />
La idea es llegar a la conocida integral de arcotangente, que es :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%5Climits%20%7B%20%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7B1%2Bx%5E%7B2%7D%7D%20%7D%20%5C%2C%20%20%3D%20arctg%28x%29%20%2B%20C" />
Para esto , hacemos una sustitución, decimos que :
u² = ax² = > u = √a x
Derivando,
du = √a dx
Sustituyendo en la integral :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%5Climits%20%7B%20%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7B1%2Bax%5E%7B2%7D%7D%20%7D%20%5C%2C%20%20%3D%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%7Ba%7D%20%7D%20%20%5Cint%5Climits%20%7B%20%20%5Cfrac%7Bdu%7D%7B1%2Bu%5E%7B2%7D%7D%7D%20%7D%20%5C%2C%20" />
Ahora bien, resolvemos la integral :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%7Ba%7D%20%7D%20%20%5Cint%5Climits%20%7B%20%20%5Cfrac%7Bdu%7D%7B1%2Bu%5E%7B2%7D%7D%7D%20%7D%20%5C%2C%20%20%3D%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%7Ba%7D%20%7D%20arctg%28u%29%20%2B%20C%20" />
Volviendo a la variable original, tenemos que :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7B%5Cint%5Climits%20%7B%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7B1%2Bax%5E%7B2%7D%7D%20%7D%20%5C%2C%20%3D%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%7Ba%7D%20%7D%20arctg%28%20%5Csqrt%7Ba%7Dx%29%20%2B%20C%20%7D%20%20" />
En este caso particular, a = 2 por lo tanto la integral es :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7B%5Cint%5Climits%20%7B%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7B1%2B2x%5E%7B2%7D%7D%20%7D%20%5C%2C%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%7B2%7D%20%7D%20arctg%28%20%5Csqrt%7B2%7Dx%29%20%2B%20C%20%7D" />
Salu2 : ).
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