Hola?

Respuesta : El área encerrada entre la función y el eje de las abscisas es de 4 unidades.

Explicación paso a paso : Primero derivamos.

Nos queda 6 * 2x - 3 * 3x² es decir 12x - 9x²Ahora igualamos a cero la primer derivada12x - 9x² = 0 saco x de factor común me queda x * (12 - 9x) = 0 lo cual solo se cumple si x es cero o si 12 - 9x = 0 es decir 12 = 9x es decir x = 4 / 3Luego la función tiene sus máximos o mínimos en x = 0 y en x = 4 / 3Ahora divido en tres intervalosPrimero cuando x pertenece a ( - ∞, 0).

Ahora evaluamos la primer derivada en algún punto perteneciente a este intervalo, por ejemplo en x = - 1.

Nos da 19 * ( - 1) - 9 * ( - 1)² = - 19 - 9 * 1 = - 19 - 9 = - 28 lo cual es un número negativo lo cual quiere decir que en el intervalo ( - ∞, 0) la función decrece.

Si evaluamos a la primer derivada en algún punto dentro del intervalo (0, 4 / 3) nos va a dar como resultado un número positivo lo cual quiere decir que la función crece en ese intervalo.

Si evaluamos a la primer derivada en algún punto dentro del intervalo (4 / 3, + ∞) nos va a dar como resultado un número negativo lo cual quiere decir que la función decrece en ese intervalo.

En x = 0 la función vale 0.

En x = 4 / 3 la función vale 6 * (4 / 3)² - 3 * (4 / 3)³ lo cual es aproximadamente 3, 5555.

Con estos valores ya podemos graficar.

El área encerrada entre la curva y el eje de las abscisas es la integral de la función entre los valores que la hacen cero.

Es decir entre 6x² - 3x³ = 0 saco x² de factor común me queda x²(6 - 3x) = 0 es decir x = 0 o 6 - 3x = 0 es decir 6 = 3x es decir x = 2Luego tenemos que integrar a la función entre x = 0 y x = 2.

La función es 6x² - 3x³La integral indefinida es 6 * x³ / 3 - 3 * x ^ 4 / 4 es decir 2x³ - 0, 75x ^ 4Ahora tenemos que evaluarla entre 0 y 2.

En cero vale cero.

En dos vale 2 * 2³ - 0, 75 * 2 ^ 4 = 4.