Hallar las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia x ^ 2 + y ^ 2 + 6x - 8 = 0 que son perpendiculares a la recta 4x - y + 31 = 0?

1º Calcular la pendiente de la recta que nos dan :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=4x-y%2B31%3D0%20%5C%5C%20y%3D4x%2B31%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20m_%7Br%7D%20%3D4" />

2º Calcular la pendiente de las rectas perpendiculares a la recta que nos dan :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20m_%7Bs%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bm_%7Br%7D%20%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20m_%7Bs%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D" />

3º Hallar la ecuación de la tangente de la circunferencia :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%2By%5E2%2B6x-8%3D0%20%5C%5C%20-y%5E2%3Dx%5E2%2B6x-8%20%5C%5C%20y%3D%20%5Csqrt%7B-x%5E2-6x%2B8%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20y%27%3D%20%5Cfrac%7B-2x-6%7D%7B%202%5Csqrt%7B-x%5E2-6x%2B8%7D%7D" />

4º Igualar y' = - 1 / 4

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B-2x-6%7D%7B%202%5Csqrt%7B-x%5E2-6x%2B8%7D%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B-2x-6%7D%7B%5Csqrt%7B-x%5E2-6x%2B8%7D%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20-%5Csqrt%7B-x%5E2-6x%2B8%7D%3D-4x-12%20%5C%5C%20%5C%5C%20%5Csqrt%7B-x%5E2-6x%2B8%7D%3D4x%2B12%20%5C%5C%20%5C%5C%20-x%5E2-6x%2B8%3D16x%5E2%2B96x%2B144%20%5C%5C%20-17x%5E2-102x-136%3D0%20%5C%5C%2017x%5E2%2B102x%2B136%3D0%20%5C%5C%20%5C%5C%20x%3D%20%5Cfrac%7B-b%5Cpm%20%5Csqrt%7Bb%5E2-4ac%7D%20%7D%7B2a%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B-102%5Cpm%20%5Csqrt%7B102%5E2-4%2A17%2A136%7D%20%7D%7B2%2A17%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B-102%5Cpm%20%5Csqrt%7B1156%7D%20%7D%7B34%7D%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bx%3D-2%7D%20%5Catop%20%7Bx%3D-4%7D%7D%20%5Cright.%20" />

Los puntos de tangecia en los que la pendiente es - 1 / 4 de la circunferencia son x = - 2 y x = - 4.

5º Conocer las doscoordenadas de los dos puntos de tangencia :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bx%3D-2%7D%20%7D%7D%20%5Cright.%20%5C%5C%20%5C%5C%20%20-y%5E2%3D%28-2%29%5E2%2B6%2A%28-2%29-8%5C%5C%20%20-y%5E2%3D4-12-8%20%5C%5C%20y%5E2%3D16%20%5C%5C%20y%3D%5Cpm4%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7By%3D4%20%20%7D%20%5Catop%20%7By%3D-4%7D%7D%20%5Cright.%20" />

(Descartamos y = - 4, ya que si representamos el punto ( - 2, - 4) vemos que la tangente es positiva)

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bx%3D-4%7D%20%7D%7D%20%5Cright.%20%5C%5C%20%5C%5C%20-y%5E2%3D%28-4%29%5E2%2B6%2A%28-4%29-8%5C%5C%20-y%5E2%3D16-24-8%20%5C%5C%20y%5E2%3D16%20%5C%5C%20y%3D%5Cpm4%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7By%3D4%20%7D%20%5Catop%20%7By%3D-4%7D%7D%20%5Cright.%0A" />

(Descartamos y = 4, ya que si representamos el punto ( - 4, 4) vemos que la tangente es positiva)

LOS PUNTOS DE TANGENCIA QUE BUSCAMOS SON A( - 2, 4) Y B( - 4, - 4)

6º Ecuaciones de las rectas a y b :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=m_%7Ba%7D%20%3D-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20y%3Dmx%2Bn%20%5C%5C%20y%3D-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20x%2Bn%20%5C%5C%20%20%5C%5C%204%3D-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20%28-2%29%2Bn%20%5C%5Cn%3D%20%5Cfrac%7B7%7D%7B2%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20a%3Ay%3D-%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B4%7D%20%2B%5Cfrac%7B7%7D%7B2%7D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20m_%7Bb%7D%20%3D-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20y%3Dmx%2Bn%20%5C%5C%20y%3D-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20x%2Bn%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20-4%3D-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20%28-4%29%2Bn%20%5C%5Cn%3D%20-5%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20b%3Ay%3D-%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B4%7D%20-5%20" />.