Hallar la integral de 1 + sen ^ 2(x) / 1 - sen ^ 2(x)?

∫(1 + sen²x) / (1 - sen²x) dx

Sabiendo que :

sen²x + cos²x = 1

Por ende :

1 - sen²x = cos²x

Y que :

1 / cos²x = sec²x

∫(1 + sen²x) / (1 - sen²x) dx = ∫(1 + sen²x) / cos²x dx

Sumando en el numerador 0 : ( + 1 - 1)

∫(1 + sen²x) / cos²x dx = ∫(1 + sen²x + 1 - 1) / cos²x dx = ∫(2 + sen²x - 1) / cos²x dx

Separando la integral :

∫(2 + sen²x - 1) / cos²x dx = ∫(2 / cos²x + (sen²x - 1) / cos²x dx = 2∫1 / cos²x dx + ∫(sen²x - 1) / cos²x dx = 2∫ sec²x + ∫(sen²x - 1) / cos²x dx

Ahora podemos notar que la integral de sec²x es directa y es tan x + c, puesto que al derivar tan x obtenemos sec²x.

2∫ sec²x + ∫(sen²x - 1) / cos²x dx = 2 tanx + c + ∫(sen²x - 1) / cos²x dx

Ahora para la integral que nos falta por resolver :

∫(sen²x - 1) / cos²x dx

Podemos multiplicar adentro y afuera de la integral por ( - 1) sin alterar el resultado :

∫(sen²x - 1) / cos²x dx = - 1∫( - 1)(sen²x - 1) / cos²x dx

Ahora distribuimos el ( - 1) dentro de la integral : - ∫( - 1)(sen²x - 1) / cos²x dx = - ∫1 - sen²x / cos²x dx

Ya vimos que 1 - Sen²x = cos²x : - ∫1 - sen²x / cos²x dx = - ∫cos²x / cos²x dx = - ∫dx = - x + d

Entonces :

∫(1 + sen²x) / (1 - sen²x) dx = 2 tanx - x + k

Donde k es una constante y es la suma de las constantes c y d.