Hallar el área de la superficie comprendida entre las dos parábolas :y ^ 2 = 2pxx ^ 2 = 2py?

Para resolver el problema aplicaremos el método de integración para calcular el área, tal que :

A = ∫ₐᵇ [f(x) - g(x)] dx

Donde :

A = áreaa, b = limite inferior y superior f(x) = función superiorg(x) = función inferior

Sea p cualquier valor real, para este caso asumiremos el valor de 1, entonces :

→ y² = 2x - - - - - - - - - > x = y² / 2→ x² = 2y - - - - - - - - - > x = √(2y)

Buscamos los puntos de intersección igualando las ecuaciones :

y² / 2 = √(2y)

Elevamos ambos lados al cuadrado :

(y² / 2)² = (√(2y))²

y⁴ / 4 = 2y

y⁴ / 4 - 2y = 0 → y₁ = 0y(y³ / 4 - 2) = 0 → y³ / 4 - 2 = 0 - - - > y₂ = 2

Por tanto los puntos de intersección son P₁(0, 0) y P₂(2, 2).

Planteamos la integral :

A = ∫₀² [√2x - x² / 2] dx

Resolvemos la integral

I = ∫ [√2x - x² / 2] dx = 3 / 2·√(2x³) - x³ / 6

Evaluamos en limite superior menos inferior :

A = 3 / 2·√(2·2³) - 2³ / 6 - [3 / 2·√(2·0³) - 0³ / 6]

A = 14 / 3 ≈ 4.

6667 u²

Por tanto el área será de 4.

667 u² para cuando p = 1, para otros valores de p el proceso es el mismo.

Adjunto vemos la imagen.