Hallar dos números cuya suma de cuadrados es igual a 100 y cuyo producto sea máximo?

Hallar dos números cuya suma de cuadrados es igual a 100 y cuyo producto sea máximo.

Hola!

Datos : x² + y² = 100x × y = Máximo

Hay 2 formas de resolver este problema : 1) Calcular máximos de funciones de dos variables.

Expresamos el producto como función de una variable : x² + y² = 100 ⇒y² = 100 - x² ⇒y = √100 - x² f(x) = x × y f(x) = x × √100 - x² Con la función f(x) hallamos la Derivada para poder hallar el Máximo, teniendo en cuenta que según el enunciado nos indica que su producto es Máximo.

F(x) = x × √100 - x² ⇒f'(x) = (x)' × √100 - x² + x × (√100 - x²)'f'(x) = √100 - x² + x × - 2x / 2√100 - x² f'(x) = √100 - x² - 2x² / √100 - x²f'(x) = √100 - x² - x² / √100 - x² = 0 ( Hallar Máximo )Simplificamos : Común denominador : f'(x) = √100 - x²)×(√100 - x²) - x² / √100 - x²f'(x) = (100 - x² - x²) / √100 - x²f'(x) = (100 - 2x²) / √100 - x² = 0100 - 2x² / √100 - x² = 0 ⇒100 - 2x² = 0100 = 2x² ⇒ x² = 100 / 2 ⇒ x² = 50 ⇒x = √50y = √100 - x² y = √100 - (√50)²y = √100 - 50y = √50x = y = √50

2) Otra forma de resolverlo :

x² + y² = 100x² + y² = 10² ⇒ Esta ecuación corresponde a una circunferencia de Centro en el origen y radio = 10.

El Producto x × y equivale al área de un rectángulo inscripto en la circunferencia.

Sabemos que el rectángulo de área máxima es el cuadrado ⇒ podemos deducir que : x = yx² + y² = 100 ⇒

x² + x² = 1002x² = 100 ⇒

x² = 100 / 2 ⇒ x² = 50 ⇒ x = √50x = y = √50Por Cualquiera de las 2 maneras llegamos al mismo resultado.

Espero haber ayudado!

Saludos!