Respuesta
Para el primer ejercicio, tenemos la siguiente función : f(x) = x²·(x + 2) Procedemos a resolver la distributiva.
F(x) = x³ + 2x² Ahora, tenemos que encontrar máximos, mínimos y punto de inflexión, para ello debemos buscar la primera y segunda derivada.
F'(x) = 3x² + 4x f''(x) = 6x + 4 Igualamos la primera derivada a cero para los máximos y mínimos : 3x² + 4x = 0 x(3x + 4) = 0 Tenemos dos puntos críticos : x = 0 3x + 4 = 0 → x = - 4 / 3Verificamos en la segunda derivada si es máximo o mínimos.
F''(0) = 6·0 + 4 = + 4 → Positivo, es decir, un mínimof''(0) = 6·( - 4 / 3) + 4 = - 4 → Negativo, es decir, un máximoBuscamos la imagen de cada punto.
F( 0) = 0³ + 2(0)² = 0 f( - 3 / 4) = ( - 4 / 3)³ + 2·( - 4 / 3)² = 32 / 27Entonces, nuestros puntos son : MÍNIMO → (0, 0) MÁXIMO → ( - 4 / 3, 32 / 27) El punto de inflexión es cuando la segunda derivada es igual a cero, tenemos que : 6x + 4 = 0 x = - 4 / 6 Tenemos un punto de inflexión en - 4 / 6, buscamos la imagenf( - 4 / 6) = ( - 4 / 6)³ + 2·( - 4 / 6)² = 16 / 27 PUNTO DE INFLEXIÓN → ( - 4 / 6, 16 / 27)Adjunto podemos ver la gráfica.
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C = ( - 5 / 4)·P³ + 5P²C' = 3·( - 5 / 4)·P² + 10P C'' = 6·( - 5 / 4)·P + 10Igualamos la primera derivada a cero.
( - 15 / 4)P² + 10P = 0 P[( - 15 / 4)P + 10) = 0 P = 0 P = 8 / 3En este caso tenemos que el punto máximo es P = 8 / 3, se puede verificar usando la segunda derivada, pero por definición es así.
Evaluamos para obtener el número de kilos, tenemos : C = ( - 5 / 4)·(8 / 3)³ + 5(8 / 3)²C = 11.
85 Entonces, se deben trabajar 8 / 3 horas para obtener un producción máxima de 11.
85 kilogramos.
