Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1 ; - 4) y (5 ; 2) y que tiene su centro en la recta x - 2y + 9 = 0.
ax² + bx + c = 0
Centro es igual punto medio
C = ( x1 + x2 / 2, y1 + y2 / 2)
C = (1 + 5 / 2, - 4 + 2 / 2)
C = (3, - 2)
Ecuación del radio
(X - h) ^ 2 + (y - k) ^ 2 = r ^ 2
R ^ 2 = (1 - 3) ^ 2 + ( - 4 + 2) ^ 2 ;
R ^ 2 = ( - 2) ^ 2 + ( - 2) ^ 2 ;
R ^ 2 = 4 + 4
R ^ 2 = 8
Ecuación de la circunferencia
(X - 3) ^ 2 + (y + 2) ^ 2 = 8
X ^ 2 - 6x + 9 + y ^ 2 + 4y + 4 - 8 = 0
X ^ 2 + y ^ 2 - 6x + 4y + 5 = 0.
La forma ordinaria de la ecuación es :
(x - h)² + (y - k)² = r²
Pasa por (1, - 4) : (1 - h)² + ( - 4 - k)² = r²
Pasa por (5, 2) : (5 - h)² + (2 - k)² = r²
Son iguales : (1 - h)² + ( - 4 - k)² = (5 - h)² + (2 - k)² ; quitamos paréntesis : - 2 h + 1 + 8 k + 16 = - 10 h + 25 - 4 k + 4 ; o bien
8 h + 12 k - 12 = 0 (1)
El centro pertenece a la recta
h - 2 k + 9 = 0 (2)
Entre (1) y (2) hay un sistema lineal : resolviendo : h = - 3 ; k = 3
Reemplazando (1 + 3)² + ( - 4 - 3)² = 65 = r² ; la ecuación es entonces :
(x + 3)² + (y - 3)² = 65
Adjunto gráfico con circunferencia, centro, puntos y recta
Saludos Herminio.
Hallemos la distancia entre el centro y el punto dado d = l√(4 - 7)² + (3 - 5)²l = l√( - 3)² + ( - 2)²l = l √9 + 4l = √13 , este es el radio de la circunferencia Ecuación (x - 4)² + (y - 3)² = 13 suerte.
Si P pertenece a la circunferencia de centro C podemos deducir que CP = radio ; usamos ecuacion de distancia entre 2 ptos y obtenemos R el radio. Ya estamos en condiciones de resolver la ecuacion. Te dejo la resolucion…
Respuesta : 3x - y = 0 Explicación paso a paso : m = (0 - 6 ) / (0 – ( - 2) )m = - 3 y - 6 = - 3(x - ( - 2)) y = - 3x - 6 + 6 y = - 3X 3x - y = 0.