Halla el área sombreada en la siguiente figura, ayudenme en estos puntos por favor, se los agradecería?

Solución

El rectángulo sombreado tiene un área de

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A_%7B1%7D%3D%28x%5E%7B2%7D%2B2%29%28x%5E%7B2%7D-1%29" /> y la del rectángulo blanco es <img src="https://tex.z-dn.net/?f=A_%7B2%7D%3D%28x%5E%7B2%7D-x-1%29%28x%5E%7B2%7D-x%2B2" /> por lo tanto el área de la sección rectangular es :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20A_%7B1%7D-A_%7B2%7D%3D%28x%5E%7B2%7D%2B2%29%28x%5E%7B2%7D-1%29-%28%28x%5E%7B2%7D-x-1%29%28x%5E%7B2%7D-x%2B2%29%29" />

Luego desarrollando los productos y simplificando se obtiene :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%5E%7B4%7D%2Bx%5E%7B2%7D-2-%28x%5E%7B4%7D-2x%5E%7B3%7D%2B2x%5E%7B2%7D-x-2%29%5C%5Cx%5E%7B4%7D%2Bx%5E%7B2%7D-2-x%5E%7B4%7D%2B2x%5E%7B3%7D-2x%5E%7B2%7D%2Bx%2B2%5C%5Cx%5E%7B4%7D-x%5E%7B4%7D%2B2x%5E%7B3%7D%2Bx%5E%7B2%7D-2x%5E%7B2%7D%2Bx%2B2%5C%5C2x%5E%7B3%7D-x%5E%7B2%7D%2Bx%2B2" />

Finalmente la sección rectangular sombreada es :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=2x%5E%7B3%7D-x%5E%7B2%7D%2Bx%2B2" />

Para el segundo problema se tiene que el área del rectánguloes :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%3D%28x%2By%29%28x%2B3y%29%3Dx%5E%7B2%7D%2B4xy%2B3y%5E%7B2%7D" />

También se pudo haber llegado al resultado sumando las áreas individuales es decir :

El área del rectángulo blanco es :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A_%7B1%7D%3Dxy" />

El área del cuadrado sombreado de lado <img src="https://tex.z-dn.net/?f=x" /> es :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A_%7B2%7D%3Dx.x%3Dx%5E%7B2%7D" />

El área del rectángulo de lados <img src="https://tex.z-dn.net/?f=3y" /> y [img = 10] es :

[img = 11]

Finalmente el área del último rectángulo de lados [img = 12] y [img = 13] es :

[img = 14]

Luego sumando todas las áreas se obtiene :

[img = 15]

El área del triángulo de base [img = 16] y altura [img = 17] es :

[img = 18]

Saludos.