F(x) = { |2x - 6| + 2 0≤x?

La función está partida, tiene una definición para x entre 0 y 5, otra para x entre 5 y 8, y otra para x mayor que 8.

Cualquier análisis que debas hacer sobre los puntos en los que la función se parte, debes hacerlo a izquierda y a derecha teniendo en cuenta sus diferentes definiciones.

Dibujé a f como la unión de tres funciones, adjunto el gráfico.

Los candidatos a ser extremos (locales o generales), son aquellos para los cuales la función no esté definida, aquellos en los que la función se parte, o aquellos en los que la derivada sea cero.

Consideramos a la función módulo una función partida también, veamos :

Son puntos críticos de la función :

x = 0, porque es nuestro límite inferior de la función (si no existiera la condición de que el menor valor de x es cero deberíamos contar al menos infinito en su lugar)

x = 3, porque es donde se parte la función módulo (vale 2x - 6 si 2x es mayor que 6, o - (2x - 6) si 2x es menor que 6.

X = 5, porque la función está partida en ese punto por definición (vale una definición para x menor que 5 y otra definición para x mayor que 5).

X = 8, porque la función está partida en ese punto por definición (vale una definición para x menos que 8 y otra definición para x mayor que 8)

x = + infinito (límite superior de los valores que puede asumir x, interpreto de la pregunta que la tercera definición es para x mayores que 8, aunque en tu pregunta está ausente el símbolo, podría ser x = 8 o x>8, en caso de que sea la tercera definición para x = 8 no consideres el punto crítico de + infinito)

Veamos las derivadas a ver si se hacen cero :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%27%3D-2%3B0%5C%20%5Ctextless%20%5C%20x%5C%20%5Ctextless%20%5C%203%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20f%27%3D2%3B3%5C%20%5Ctextless%20%5C%20x%5C%20%5Ctextless%20%5C%205%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20f%27%3D-%20%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7Dx%2B%20%5Cfrac%7B20%7D%7B3%7D%3B5%5C%20%5Ctextless%20%5C%20x%5C%20%5Ctextless%20%5C%208%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20f%27%3D%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B%20%5Csqrt%7B%282x-16%29%7D%20%7D%20%20%20%3B8%5C%20%5Ctextless%20%5C%20x" />

La derivada de la segunda definición se hace cero en x = 5, pero x = 5 ya era un punto crítico por estar la función partida.

La derivada de la tercera definición no está definida para x menores que 8 (la misma función no está definida para esos valores), pero la definición de la función está dada para x mayores.

Veamos los ímites por izquierda y por derecha para los puntos críticos (para x = 0 sólo por derecha, para x = + infinito sólo por izquierda, ya que son los extremos del dominio) :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%5E%7B%2B%7D%7D%20-%282x-6%29%2B2%20%3D%208%20" />

Luego tenemos derivada negativa hasta x = 3

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%203%5E%7B-%7D%7D%20%282x-6%29%2B2%3D%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%203%5E%7B%2B%7D%7D%20-%20%282x-6%29%2B2%3D2%20" />

Luego tenemos derivada positiva hasta x = 5

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%205%5E%7B-%7D%7D%20%282x-6%29%2B2%3D%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%205%5E%7B%2B%7D%7D%20-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dx%5E%7B2%7D%2B%20%5Cfrac%7B20%7D%7B3%7Dx-%20%5Cfrac%7B32%7D%7B3%7D%3D6%20%20" />

Luego derivada negativa hasta x = 8

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%208%5E%7B-%7D%7D%20-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dx%5E%7B2%7D%2B%20%5Cfrac%7B20%7D%7B3%7Dx-%20%5Cfrac%7B32%7D%7B3%7D%3D%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%208%5E%7B%2B%7D%7D%20%5Csqrt%7B2x-16%7D%20%3D0" />

Y luego derivada positiva hasta x = + infinito

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Clim_%7Bn%20%5Cto%20%2B%5Cinfty%7D%20%20%5Csqrt%7B2x-16%7D%3D%2B%5Cinfty%20%20" />

Analicemos todos estos resultados, los intervalos de crecimiento y decrecimiento son :

C = [3 ; 5]u[8 ; + infinito]

D = [0 ; 3]u[5 ; 8]

Los extremos son :

x = 0 máximo local (f = 8), la función no está definida por izquierda y por derecha decrece.

X = 3 mínimo local (f = 2), la función decrece por izquierda y crece por derecha.

X = 5 máximo local (f = 6), la función crece por izquierda y decrece por derecha.

X = 8 mínimo absoluto (f = 0), la función decrece por izquierda y crece por derecha, y es el menor de los mínimos locales.

X = + infinito máximo absoluto (f = + infinito), la función crece por izquierda y es el extremo del dominio por derecha, y es el mayor de los máximos locales.

Éxitos!