Formula de todas las raices?
Formula de todas las raices.
En resumen
1. 5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejosLa formulaZ. W = |z|. |W| (cos (θ + µ) + i sen (θ + µ)) puede ser utilizada para hallar la potencia enésima de un numero complejo.
Mejor respuesta
1. 5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejosLa formulaZ.
W = |z|.
|W| (cos (θ + µ) + i sen (θ + µ)) puede ser utilizada para hallar la potencia enésima de un numero complejo.
Supongamos que Z = |Z| ( cos θ + isen θ ), y n es un entero positivo, entonces se obtiene :
Esta relación, que se conoce con el nombre deFormula de Moivre, y proporcionaun algoritmo bastante eficiente para hallar la potencia enésima de cualquier numero complejo en forma polar.
Ejemplo.
Sea Z = 2 (cos30° + i sen30°).
Calcule la potencia de orden cinco de este numero, es decir, Z5.
EXTRACCIÓN DE LAS RAICES DE UN NÚMERO COMPLEJO.
Si Z es un número complejo tal que para algún entero positivo se tenga :
donde W es otro número complejo, entonces se dice que W es una raíz enésima de
Z.
Esto lo denotamos por :
En los números reales, todo númeroposee unaraízde orden impar y dos raíces de orden par.
En los complejos hay una mayor abundancia deraíces.
Concretamente, se tiene la siguiente propiedad :
Todonúmerocomplejo tiene exactamente n reices n - esimas.
Asípor ejemplo 1 tiene 4 raíces cuartas, pues :
Luego 1, - 1, i, y - i son las reices cuartas de 1.
A continuación damos unafórmula para hallar las raíces de un número complejo.
Sea Z = |Z|(cosθ + isenθ).
Si representamos gráficamente estas tres raíces, veremos que se hallan sobre unacircunferencia con centro en el origen y radio 2 .
Además todas ellas están a lamisma distancia de las otras : formando los vértices de un triángulo equilatero, tal como puede verse ne la figura siguiente :
Ejemplo.
Hallar todas las raÍces sextas de la unidad.
Solución.
Tomamos la representación en forma polar de 1, la cual viene dadapor : 1 = 1 (cos0° + i sen 0°), luego hallamos las raíces sextasmediante la fórmula dada para la obtención de las raíces de un número complejo :
con k = 0, 1, 2, 3, 4, y 5.
Estos valores de k nos dan las seis raíces :
W1 = 1(cos 0° + i sen 0°) k = 0
W2 = 1(cos 60° + i sen 60°) k = 1
W3 = 1(cos120° + i sen120°) k = 2
W4 = 1(cos180° + i sen180°) k = 3
W5 = 1(cos240° + i sen240°) k = 4
W6 = 1(cos300° + i sen300°) k = 5
Si las graficamos en el plano complejo, vemos que ellas ocupan los vértices de un
hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio 1.
EJERCICIOS PROPUESTOS.