Formula de todas las raices?

1. 5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejosLa formulaZ.

W = |z|.

|W| (cos (θ + µ) + i sen (θ + µ)) puede ser utilizada para hallar la potencia enésima de un numero complejo.

Supongamos que Z = |Z| ( cos θ + isen θ ), y n es un entero positivo, entonces se obtiene :

Esta relación, que se conoce con el nombre deFormula de Moivre, y proporcionaun algoritmo bastante eficiente para hallar la potencia enésima de cualquier numero complejo en forma polar.

Ejemplo.

Sea Z = 2 (cos30° + i sen30°).

Calcule la potencia de orden cinco de este numero, es decir, Z5.

EXTRACCIÓN DE LAS RAICES DE UN NÚMERO COMPLEJO.

Si Z es un número complejo tal que para algún entero positivo se tenga :

donde W es otro número complejo, entonces se dice que W es una raíz enésima de

Z.

Esto lo denotamos por :

En los números reales, todo númeroposee unaraízde orden impar y dos raíces de orden par.

En los complejos hay una mayor abundancia deraíces.

Concretamente, se tiene la siguiente propiedad :

Todonúmerocomplejo tiene exactamente n reices n - esimas.

Asípor ejemplo 1 tiene 4 raíces cuartas, pues :

Luego 1, - 1, i, y - i son las reices cuartas de 1.

A continuación damos unafórmula para hallar las raíces de un número complejo.

Sea Z = |Z|(cosθ + isenθ).

Si representamos gráficamente estas tres raíces, veremos que se hallan sobre unacircunferencia con centro en el origen y radio 2 .

Además todas ellas están a lamisma distancia de las otras : formando los vértices de un triángulo equilatero, tal como puede verse ne la figura siguiente :

Ejemplo.

Hallar todas las raÍces sextas de la unidad.

Solución.

Tomamos la representación en forma polar de 1, la cual viene dadapor : 1 = 1 (cos0° + i sen 0°), luego hallamos las raíces sextasmediante la fórmula dada para la obtención de las raíces de un número complejo :

con k = 0, 1, 2, 3, 4, y 5.

Estos valores de k nos dan las seis raíces :

W1 = 1(cos 0° + i sen 0°) k = 0

W2 = 1(cos 60° + i sen 60°) k = 1

W3 = 1(cos120° + i sen120°) k = 2

W4 = 1(cos180° + i sen180°) k = 3

W5 = 1(cos240° + i sen240°) k = 4

W6 = 1(cos300° + i sen300°) k = 5

Si las graficamos en el plano complejo, vemos que ellas ocupan los vértices de un

hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio 1.

EJERCICIOS PROPUESTOS.