Factorial de polinomios?

Polinomios

DefinicionesDefinición : se llama polinomio de variable x a la expresión algebraica que resultade sumar 2 o más monomios de variable x, siendo del tipo : P(x) = anxn + … + a2x2 + a1x + a0 Donde : - a0, a1, …, an ∈R y son los coeficientes y a0 término independiente - n es el grado del polinomio (el grado mayor de los monomios) - anxn, …, a1x, a0 son los términos del polinomioEjemplo : P(x) = - 6x5 - 3x2 + 23·x + 2 es un polinomio de variable x, de grado 5 concoeficientes a5 = - 6, a4 = a3 = 0, a2 = - 3, a1 = 23y a0 = 2 .

Siendo 2 el términoindependiente.

Observa las siguientes expresiones que no son polinomios de variable x : x + x ; xx3 1− ; x2 - y + 2

Otras definiciones : - polinomio de grado cero : son los números reales - polinomio nulo : es el cero 0(x) = 0 - polinomio completo : es aquel donde todos los coeficientes desde el de mayorgrado al término independiente son distintos de cero.

Ejemplo : P(x) = - 2x3 + 4x2 - 5x + 12Valor numérico de un polinomio : resulta de sustituir una variable por un número, obteniendo el correspondiente valor numérico.

Ejemplo : P(x) = x3 - x2 + x - 5 P(1) = 13 - 12 + 1 - 5 = - 4 ; P(0) = 03 - 02 + 0 - 5 = - 5Raíz de un polinomio P(x) : es todo número real, a∈R, tal que su valor numérico escero es decir P(a) = 0

Ejemplo : P(x) = 7x5 - 4x2 + 11 el - 1 es una raíz de P(x) P( - 1) = - 7 - 4 + 11 = 0.

En siguientes apartados veremos cuantas y como calcular las raíces de lospolinomios.

Tema 3.

Polinomios y fracciones algebraicasPágina realizada por José Luis Lorente (lorentejl@gmail.

Com) 42.

2. Operaciones con polinomiosSuma y diferencia : se suman y restan los monomios semejantes como vimos en elapartado anterior.

Ejemplo : P(x) = 2x3 - 5x2 + 3x - 2 y Q(x) = 6x4 - 5x3 + 6x - 5P(x) + Q(x) = 2x3 - 5x2 + 3x - 2 + (6x4 - 5x3 + 6x - 5) = 6x4 - 3x3 - 5x2 + 9x - 7P(x) - Q(x) = 2x3 - 5x2 + 3x - 2 - (6x4 - 5x3 + 6x - 5) = 2x3 - 5x2 + 3x - 2 - 6x4 + 5x3 - 6x + 5 = = - 6x4 + 7x3 - 5x2 - 3x + 3Definición : polinomios opuestos son los que sumados el resultado es el polinomionulo.

El opuesto de P(x) se denota como –P(x).

Ejemplo : P(x) = x2 - 3x + 5 - P(x) = - x2 + 3x - 5Multiplicación : la multiplicación de dos polinomios resulta de multiplicar cadamonomio del primer polinomio por todos los monomios del segundo.

Ejemplo : (5x2 - 3x + 5)·( - 7x3 + x + 1) = - 35x5 + 5x3 + 5x2 + 21x4 - 3x2 - 3x - 35x3 + 5x + 5 = = - 35x5 + 21x4 - 30x3 + 2x2 + 2x + 5Potencia de polinomios : la potencia n - esima de un polinomio P(x) se denota como(P(x))ny resulta de multiplicar P(x) n veces por si mismo : (P(x))n = P(x)· P(x)·… ·P(x)n - vecesEjemplo : P(x) = (5x2 + x + 1) (P(x))3 = (5x2 + x + 1)·(5x2 + x + 1)·(5x2 + x + 1) = = 125x6 + 75x5 + 90x4 + 31x3 + 18x2 + 3x + 1Identidades notables : -

Cuadrado de la suma de monomios : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Demostración : (a + b)2 = (a + b)·(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2Ejemplo : (5x + 3)2 = (5x)2 + 2·5x·3 + 32 = 25x2 + 30x + 9 - Cuadrado de la diferencia de monomios : (a - b)2 = a2 - 2ab + b2.

Demostración : (a - b)2 = (a - b)·(a - b) = a2 - ab - ba + b2 = a2 - 2ab + b2Ejemplo : (5x - 3)2 = (5x)2 - 2·5x·3 + 32 = 25x2 - 30x + 9 - Suma por diferencia : (a + b)·(a - b) = a2 - b2Demostración : (a + b)·(a - b) = a2 - ab + ba - b2 = a2 - b2Ejemplo : (5x - 3)·(5x + 3) = (5x)2 - 32 = 25x2 - 9.