Es posible encontrar un número q tenga exactamente 8 divisores enteros?

Descomponemos un número en producto de factores primos, le sumamos una unidad a cada uno de los exponentes de los factores de la descomposición y multiplicamos entre sí los rfesultados de las sumas.

El resultado de este producto será el número de divisores naturales que tiene el número.

Ejemplo : 1.

218 = 2·3·7·29

Todos los exponentes tienen valor 1, sumamos una unidad y los multiplicamos : (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 2·2·2·2 = 16.

Eso significa que tiene 16 divisores.

Si queremos que tenga 8 divisores tenemos que ver las posibilidades de que un producto de factores de como resultado 8 :

las posibilidades serían :

a) 1·8 = 8

b) 2·4.

Para conseguir esto usando la explicación anterior tendríamos que buscar un número cuya descomposición fuera :

a) n⁷ : 7 + 1 = 8

b) n·m³ : (1 + 1)(3 + 1) = 2·4 = 8

Si sustituimos los valors n y m por números primos el resultado será un número con 8 divisores naturales :

Ejemplos del primer tipo :

3⁷ = 2.

187. 2.

187 tiene 8 divisores naturales : 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187

2⁷ = 128.

128 tiene 8 divisores naturales : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128

5⁷ = 78.

128. 78.

125 tiene 8 divisores naturales : 1, 5, 25, 125, 625, 3125, 15625, 78125

13⁷ = 62.

748. 517.

62. 478.

517 tiene 8 divisores naturales : 1, 13, 169, 2197, 28561, 371293, 4826809, 62748517

Ejemplos del segundo tipo :

2·3³ = 54.

54 tiene 8 divisores naturales : 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54

2·5³ = 250.

250 tiene 8 divisores naturales : 1, 2, 5, 10, 25, 50, 125, 250

7·2³ = 56.

56 tiene 8 divisores naturales : 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56

3·5³ = 375.

375 tiene 8 divisores naturales : 1, 3, 5, 15, 25, 75, 125, 375.