Encuentre las dimensiones de un cilindro recto de volumen máximo que se puede inscribir en una esfera de radio de 10 cm ¿ cual es el volumen máximo?
En resumen
Veamos Sea r el radio del cilindro y h su altura. Llamemos R al radio de la esfera. El volumen del cilindro es V = π. R². h Por otro lado hay un triángulo rectángulo de hipotenusa R, un cateto es r y el otro es h / 2.
Veamos Sea r el radio del cilindro y h su altura.
Llamemos R al radio de la esfera.
El volumen del cilindro es V = π.
R². h
Por otro lado hay un triángulo rectángulo de hipotenusa R, un cateto es r y el otro es h / 2.
Por lo tanto R² = r² + (h / 2)² ; despejamos r² y lo reemplazamos en V :
V = π (R² - h² / 4) .
H = π(R² h - h³ / 4)
Nos ha quedado el volumen como una función de h.
Una condición de máximo valor es la primera derivada nula y la segunda negativa.
Derivamos por lo tanto V respecto de H :
V' = π(R² - 3 / 4 h²) = 0 para volumen máximo.
Derivamos nuevamente : V'' = - 3 / 2π h (negativo, condición de máximo)
Resolvemos V' = 0 para h ; resulta h = R√(4 / 3)
Para R = 10 cm resulta : h = 11, 55 cmaproximadamente
Reemplazamos en la expresión del volumen
V = π (10² .
11, 55 - 11, 55³ / 4) = 2418 cm³
Te adjunto un gráfico con la representación del volumen en función de la altura y sus valores críticos.
Saludos Herminio.
EL AREA DEL CILINDRO ES area de la base x laaltura. El area de la base es : xradio al cuadrado. Entonces sale 36. Para completar el volumen se le multiplica por la altura : 36x18x. El volumen es 648. .
12 * = 37, 699 37, 699 * 18 = 678, 58 el volumen es de 678, 58.
El cálculo delvolumende laesferafue uno de los descubrimientos que Arquímedes más estimaba de todos los que hizo ensuvida. Llegó a demostrar de un modo muy original que elvolumende laesferaesiguala dos tercios…