Encuentre el volumen del sólido que se genera al girar la región plana determinada por las ecuaciones –x ^ 2 = y - 2 y 2y - x - 2 = 0 alrededor del eje x entre x = - 1 y x = 1 Elabore la gráfica en Ge?

Respuesta.

El volumen por sólido revolución viene dado por :

V = ∫π·r²(x) dx

Donde r(x) es el radio en función de la variable x , es decir, la distancia desde la función hasta el eje de giro, en este caso y = 0.

En este caso tenemos que el radio de giro es y = 0, es decir, el eje X, entonces planteamos nuestras ecuaciones de volumen :

V = ∫₋₁⁰'⁶¹ π·( - x² + 2 - 0)² dx - ∫₋₁⁰'⁶¹π·(x / 2 + 1 - 0)² dx + ∫₀.

₆₁¹ π·(x / 2 + 1 - 0)² - ∫₀.

₆₁¹π·( - x² + 2 - 0)²

En la imagen adjunta se pueden observar los tres puntos fundamentales que generan los limites de integración, ahora procedemos a resolver las integrales :

I₁ = ∫ π·( - x² + 2 - 0)² dx

I₁ = π∫( - x² + 2)² dx

I₁ = π∫ - x⁴ - 2x² + 4 dx

Aplicamos la integración inmediata ( se busca en tablas)

I₁ = π( - x⁵ / 5 - 2x³ / 3 + 4x)

Procedemos a evaluar limite superior menos limite inferior :

I₁ = π[ - 0.

61⁵ / 5 - 2(0.

61)³ / 3 + 4(0.

61) - (( - 1)⁵ / 5 - 2( - 1)³ / 3 + 4( - 1)]

I₁ = 15.

77

Ahora procedemos con la segunda integral :

I₂ = ∫π·(x / 2 + 1 - 0)² dx

I₂ = π∫(x / 2 + 1)² dx

I₂ = π∫x² / 4 + x + 1 dx

Aplicamos inmediata y tenemos que :

I₂ = π·(x³ / 12 + x² / 2 + x)

Aplicamos la evaluación de limite superior menos limite inferior :

I₂ = π[0.

61³ / 12 + 0.

61² / 2 + 0.

61 - (( - 1)³ / 12 + ( - 1)² / 2 - 1)]

I₂ = 4.

39

Observemos que las integrales I₃ e I₄ son las mismas que I₁ e I₂, solamente cambian los limites de integración, por tanto es simplemente evaluar, y tenemos que los resultados finales serán :

V = 15.

77 - 4.

39 + 2.

41 - 2.

23

V = 11.

56 u³

Por tanto, tenemos que el volumen de la región es de 11.

56 unidades cubicas.

Estos ejercicios son muy sencillos, lo complicado es plantear las integrales y tener conocimiento para resolverlas.