Encuentre el volumen del sólido que se genera al girar la región plana determinada por las ecuaciones –x2 = y - 2 y 2y - x - 2 = 0 alrededor del eje x entre x = - 1 y x = 1 Elabore la gráfica en Geogebra y considere el volumen en unidades cúbicas.
ax² + bx + c = 0
En resumen
Adjunto tenemos la imagen de la región, recordemos que el volumen por sólido revolución viene dado por : V = ∫π·r²(x) dxDonde r(x) es el radio en función de la variable x , es decir, la distancia desde la función hasta el eje de giro, en este caso y = 0.
Adjunto tenemos la imagen de la región, recordemos que el volumen por sólido revolución viene dado por : V = ∫π·r²(x) dxDonde r(x) es el radio en función de la variable x , es decir, la distancia desde la función hasta el eje de giro, en este caso y = 0.
En este caso tenemos que el radio de giro es y = 0, es decir, el eje X, entonces planteamos nuestras ecuaciones de volumen : V = ∫₋₁⁰'⁶¹ π·( - x² + 2 - 0)² dx - ∫₋₁⁰'⁶¹π·(x / 2 + 1 - 0)² dx + ∫₀.
₆₁¹ π·(x / 2 + 1 - 0)² - ∫₀.
₆₁¹π·( - x² + 2 - 0)² En la imagen adjunta se pueden observar los tres puntos fundamentales que generan los limites de integración, ahora procedemos a resolver las integrales : I₁ = ∫ π·( - x² + 2 - 0)² dxI₁ = π∫( - x² + 2)² dx I₁ = π∫ - x⁴ - 2x² + 4 dx Aplicamos la integración inmediata ( se busca en tablas) I₁ = π( - x⁵ / 5 - 2x³ / 3 + 4x) Procedemos a evaluar limite superior menos limite inferior : I₁ = π[ - 0.
61⁵ / 5 - 2(0.
61)³ / 3 + 4(0.
61) - (( - 1)⁵ / 5 - 2( - 1)³ / 3 + 4( - 1)]I₁ = 15.
77 Ahora procedemos con la segunda integral : I₂ = ∫π·(x / 2 + 1 - 0)² dx I₂ = π∫(x / 2 + 1)² dx I₂ = π∫x² / 4 + x + 1 dx Aplicamos inmediata y tenemos que : I₂ = π·(x³ / 12 + x² / 2 + x) Aplicamos la evaluación de limite superior menos limite inferior : I₂ = π[0.
61³ / 12 + 0.
61² / 2 + 0.
61 - (( - 1)³ / 12 + ( - 1)² / 2 - 1)]I₂ = 4.
39Observemos que las integrales I₃ e I₄ son las mismas que I₁ e I₂, solamente cambian los limites de integración, por tanto es simplemente evaluar, y tenemos que los resultados finales serán : V = 15.
77 - 4.
39 + 2.
41 - 2.
23V = 11.
56 u³ Por tanto, tenemos que el volumen de la región es de 11.
56 unidades cubicas.
Estos ejercicios son muy sencillos, lo complicado es plantear las integrales y tener conocimiento para resolverlas.
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Es una integral de la forma V = π ∫ (y² dx, entre x = a, x = b) Para este caso es y² = x⁴ ; a = 0, b = 2 V = π x⁵ / 5, entre 0 y 2 = π 32 / 5 = 20, 1 unidades de volumen Saludos Herminio.
Chicos, aquí les dejo la solución. Espero les sirva. Yo también tenía el mismo ejercicio. Que tengan un bonito día.
Respuesta. El volumen por sólido revolución viene dado por : V = ∫π·r²(x) dx Donde r(x) es el radio en función de la variable x , es decir, la distancia desde la función hasta el eje de giro, en este caso y = 0. En este…