Encuentra la ecuacion general de la circunferencia q pasa por los puntos A( - 4, - 3), B(5, 10) y cuyo centro esta sobre la recta 3x + y - 5?

La Ecuación General de la Recta requerida es : x² + y² + 17 / 3x + 7y – 1697 / 450 = 0

Se conoce por teoría que la Ecuación Canónica de una Recta es de la forma :

(x – h)² + (y – k)² = r²

Donde :

h y k son las coordenadas del centro de la circunferencia.

R = Radio.

Datos :

A (– 4 ; – 3) B (5 ; 10)

Centro está sobre la recta 3x + y – 5 = 0

La circunferencia pasa por los puntos dados A y B ; por lo que estos valores se ingresan en la ecuación de la recta.

(– 4 – h)² + (– 3 – k)² = r² (i)

(5 – h)² + (10 – k)² = r² (ii)

Al tener r² como término idéntico al otro lado de la igualdad ; se igualan se resuelven los binomios ; y se ordenan.

(– 4 – h)² + (– 3 – k)² = (5 – h)² + (10 – k)²

16 + 8h + h² + 9 + 6k + k² = 25 – 10h + h² + 100 + 20k + k²

Los términos cuadráticos se anulan quedando :

8h + 6k + 10h – 20k = 100 + 25 – 16 – 9

18h – 14k = 100 (iii)

Se da la recta sobre la cual está el centro de la circunferencia y la satisface, entonces :

3h + k = 5 (iv)

De las ecuaciones (iii) y (iv) se obtienen los valores de h y k : la ecuación (iv) se multiplica por – 6

18h – 14k = 100

– 18h – 6k = – 30

– 20k = 70

k = 70 / –20

k = – 7 / 2 = – 3, 5

Este se sustituye en (iii)

18h – 14(– 7 / 2) = 100

18h = 100 – 49

18h = 51

h = 51 / 18 = 17 / 6

h = 17 / 6 = 2, 83

Las coordenadas del centro de la circunferencia son :

C (h, k) = (17 / 6 ; – 7 / 2)

Con estos valores se calcula el radio, sustituyéndolos en cualquier de las dos ecuaciones iniciales.

(– 4 – 17 / 6)² + (– 3 + 7 / 2)² = r²

(– 41 / 6)² + (1 / 2)² = r²

46, 69 + 0, 25 = r²

r² = 46, 94

El radio de la circunferencia es :

r = 6, 85

La Ecuación Canónica de la Circunferencia queda :

(x – 17 / 6)² + (y + 7 / 2)² = 46, 94

De esta ecuación se despaja para la Ecuación General de la Recta.

X² + 34 / 6x + 289 / 36 + y² + 7y + 49 / 4 – 46, 94 = 0

x² + y² + 17 / 3x + 7y – 1697 / 450 = 0.