En el suelo de unos jardines hay un estanque de base hexagonal de 3m de lado y 1, 20m de altura?

Este estanque tiene una forma denominada matemáticamente como prisma hexagonal y como todos los prismas cuyas bases son polígonos regulares su volumen será el producto del área de la base x la altura.

Tenemos que calcular el área de un hexágono regular de lado 3 metros.

Existe una fórmula que habrás estudiado en geometría donde se obtiene el área de un hexágono regular sabiendo el lado y la apotema.

Como aquí solo nos proporcionan el lado, vamos a tener que hilar más fino.

Un hexágono regular tiene seis lados iguales esto nos permitirá dividirlo matemáticamente en seis triángulos equiláteros trazando sus 3 diagonales que van desde un vértice al vértice opuesto.

Si estudiamos uno de estos triángulos vemos que si lo dividimos a su vez trazando una línea desde el vérice central hasta el lado opuesto, esta línea es precisamente la apotema del hexágono y el cateto mayor de un triángulo rectángulo donde la hipotenusa es igual al lado del hexágono (recuerda que era un triángulo equilátero que hemos dividido en dos) y el cateto menor es precisamente la mitad del lado del hexágono.

Si aplicamos el teorema de Pitágoras llamamos a a la apotema, h a la hipotenusa = L y b al cateto menor = L / 2 tenemos :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20a%5E%7B2%7D%20%3D%20%20L%5E%7B2%7D%20-%20%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DL%29%20%5E%7B2%7D" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20a%5E%7B2%7D%20%3D%20%20L%5E%7B2%7D%20-%20%28%5Cfrac%7BL%5E%7B2%7D%7D%7B2%5E%7B2%7D%7D%29%20%5E%7B2%7D" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a%5E%7B2%7D%20%3D%20%20L%5E%7B2%7D%20-%20%5Cfrac%7BL%5E%7B2%7D%7D%7B2%5E%7B2%7D%7D" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a%5E%7B2%7D%20%3D%20%20L%5E%7B2%7D%20-%20%5Cfrac%7BL%5E%7B2%7D%7D%7B2%5E%7B2%7D%7D" /> = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B3L%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D" />

Entonces <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20a%3D%20%20L%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%7D%20" />

Ya tenemos la apotema que además es la altura de cada uno de los seis triángulos equiláteros en que hemos dividido el hexágono y el área del triángulo = L * a / 2

Entonces el área del hexágono = 6 * L * a / 2 = 3 * L * a = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=L%5E%7B2%7D3%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%7D" />

Área = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B3L%5E%7B2%7D%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D" /> y como sabemos el lado del hexágono sustituimos el valor en esta fórmula.

Área = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=2%2C60%2AL%5E%7B2%7D" /> = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=2%2C60%2A3%5E%7B2%7D" /> = [img = 10] aproximadamente

Ya tenemos el área de la base, ahora para calcular el volumen tenemos que multiplicar por la altura.

Volumen = altura * área de la base

Volumen = [img = 11] = [img = 12]

RESPUESTA el volumen = [img = 13] aproximadamente

Suerte con vuestras tareas

Michael Spymore.