En el conjunto delos numeros naturales la suma de un numero y el duadrado de su consecutivo?

Respuesta : Explicación paso a paso : La potenciación es la forma abreviada de escribir varias multiplicaciones consecutivas donde todos los factores son iguales.

Si { \ displaystyle a} { \ displaystyle a} y { \ displaystyle n} { \ displaystyle n} son números naturales, la potenciación de « { \ displaystyle a} { \ displaystyle a} a la { \ displaystyle n} { \ displaystyle n}» se define como la multiplicación de repetida del número { \ displaystyle a} { \ displaystyle a} un total de { \ displaystyle n} { \ displaystyle n} veces :

{ \ displaystyle a ^ {n} = \ underbrace {a \ times a \ times .

\ times a} _{ \ text{«n» factores iguales a «a»}} = b} { \ displaystyle a ^ {n} = \ underbrace {a \ times a \ times .

\ times a} _{ \ text{«n» factores iguales a «a»}} = b}

El resultado de la operación se llama potencia, el factor se llama base y la cantidad de veces que hay que multiplicarlo se llama exponente.

La operación se denota colocando el exponente en un superíndice junto a la base de la siguiente forma :

{ \ displaystyle \ underbrace {a} _{ \ text{Base}} \ overbrace {{ \ text{ }} ^ {b}} ^ { \ text{Exponente}} \ underbrace { = } _{ \ text{Igualdad}} \ overbrace {c} ^ { \ text{Potencia}}} { \ displaystyle \ underbrace {a} _{ \ text{Base}} \ overbrace {{ \ text{ }} ^ {b}} ^ { \ text{Exponente}} \ underbrace { = } _{ \ text{Igualdad}} \ overbrace {c} ^ { \ text{Potencia}}}

Los siguientes ejemplos nos permiten ver la relación entre las multiplicaciones sucesivas y las correspondientes operaciones de potenciación :

{ \ displaystyle 5 \ times 5 \ times 5 = 5 ^ {3} = 125} { \ displaystyle 5 \ times 5 \ times 5 = 5 ^ {3} = 125}

{ \ displaystyle 3 \ times 3 \ times 3 \ times 3 = 3 ^ {4} = 81} { \ displaystyle 3 \ times 3 \ times 3 \ times 3 = 3 ^ {4} = 81}

{ \ displaystyle 11 \ times 11 = 11 ^ {2} = 121} { \ displaystyle 11 \ times 11 = 11 ^ {2} = 121}

Cuadrados y cubos perfectos

Cuando el exponente de la operación es igual a { \ displaystyle 2} { \ displaystyle 2} se dice que la base se eleva al cuadrado.

A los números que son el resultado (potencia) de elevar una base al cuadrado se les llama cuadrados perfectos.

{ \ displaystyle 196} { \ displaystyle 196} es un cuadrado perfecto porque es el resultado de elevar el número 14 al cuadrado :

{ \ displaystyle 14 ^ {2} = 196} { \ displaystyle 14 ^ {2} = 196}

Si el exponente es igual a { \ displaystyle 3} { \ displaystyle 3}, se dice que la base se eleva al cubo y a la potencia (resultado) se le llama cubo perfecto.

{ \ displaystyle 729} { \ displaystyle 729} es un cubo perfecto porque es el resultado de elevar el número 9 al cubo :

{ \ displaystyle 9 ^ {3} = 729} { \ displaystyle 9 ^ {3} = 729}

Exponentes especiales : 0 y 1

La potenciación en el conjunto de los números naturales tiene varios casos especiales :

Cuando el exponente es igual a 1, el resultado de la operación siempre es igual a la base.

Si { \ displaystyle a \ in \ mathbb {N} } { \ displaystyle a \ in \ mathbb {N} }, entonces { \ displaystyle a ^ {1} = a} { \ displaystyle a ^ {1} = a}

Por ejemplo :

{ \ displaystyle 0 ^ {1} = 0} { \ displaystyle 0 ^ {1} = 0}

{ \ displaystyle 1 ^ {1} = 1} { \ displaystyle 1 ^ {1} = 1}

{ \ displaystyle 2 ^ {1} = 2} { \ displaystyle 2 ^ {1} = 2}

{ \ displaystyle 3 ^ {1} = 3} { \ displaystyle 3 ^ {1} = 3}

{ \ displaystyle 10 ^ {1} = 10} { \ displaystyle 10 ^ {1} = 10}

{ \ displaystyle 47 ^ {1} = 47} { \ displaystyle 47 ^ {1} = 47}

Cuando el exponente es igual a 0 y la base es diferente de 0, el resultado de la operación siempre es igual a 1.

Si { \ displaystyle a \ in \ mathbb {N} } { \ displaystyle a \ in \ mathbb {N} } y { \ displaystyle a \ neq 0} { \ displaystyle a \ neq 0}, entonces { \ displaystyle a ^ {0} = 1} { \ displaystyle a ^ {0} = 1}

Por ejempo :

{ \ displaystyle 1 ^ {0} = 1} { \ displaystyle 1 ^ {0} = 1}

{ \ displaystyle 2 ^ {0} = 1} { \ displaystyle 2 ^ {0} = 1}

{ \ displaystyle 3 ^ {0} = 1} { \ displaystyle 3 ^ {0} = 1}

{ \ displaystyle 10 ^ {0} = 1} { \ displaystyle 10 ^ {0} = 1}

{ \ displaystyle 47 ^ {0} = 1} { \ displaystyle 47 ^ {0} = 1}

La operación { \ displaystyle 0 ^ {0}} { \ displaystyle 0 ^ {0}} no está definida en { \ displaystyle \ mathbb {N} } { \ displaystyle \ mathbb {N} }.

Es decir, su resultado no corresponde a ningún número natural.

Leyes de potencias

Las leyes de potencias, o leyes de exponentes, son reglas que usan las propiedades de las diferentes operaciones matemáticas para manipular las operaciones en la que hay potencias involucradas.

Su propósito es ayudarnos a resolver las operaciones donde participan potencias.

A continuación puedes ver las diferentes leyes de potencias, su fórmula general y un ejemplo ilustrativo.

Nombre Regla Ejemplo

Potencia de una multiplicación { \ displaystyle (a \ times b) ^ {m} = a ^ {m} \ times b ^ {m}} { \ displaystyle (a \ times b) ^ {m} = a ^ {m} \ times b ^ {m}} { \ displaystyle (5 \ times 8) ^ {4} = 5 ^ {4} \ times 8 ^ {4}} { \ displaystyle (5 \ times 8) ^ {4} = 5 ^ {4} \ times 8 ^ {4}}

Potencia de una división { \ displaystyle (a \ div b) ^ {m} = a ^ {m} \ div b ^ {m}} { \ displaystyle (a \ div b) ^ {m} = a ^ {m} \ div b ^ {m}}.