¿En cuánto hay que disminuir el primer factor y aumentar el segundo del producto de 12 \ cdot~15 para que la multiplicación disminuya en 10? Escribe las soluciones de menor a mayor.
Enemos que aumentar el 12 y disminuir 15 en una cierta cantidad x o sea, 12 - x y 15 + x
Sabemos que 12x15 = 180
como queremos que disminuya en 10 queda 180 - 10 = 170, es decir :
(12 - x)(15 + x) = 170
Resolvemos : (12 - x)(15 + x) = 170
180 + 12x - 15x - x ^ 2 = 170 - x ^ 2 - 3x + 180 = 170 - x ^ 2 - 3x + 10 = 0
multiplicamos por - 1 : x ^ 2 + 3x - 10 = 0
Factorizamos : (x + 5)(x - 2) = 0
Igualamos cada ecuación a 0
x + 5 = 0 y x - 2 = 0
Resolvemos : x + 5 = 0 \ blue {x = - 5}
x - 2 = 0 \ blue {x = 2}
Por lo tanto : x_{1} = - 5, x_{2} = 2.
No está muy claro cuál es el producto, pero parece ser 12x15.
Lo que sigue se basa en eso.
Voy a mostrarte dos formas de hacerlo.
1) Un tanteo sencillo :
12x15 = 180
Si disminuyo 12 en una unidad e incremento 15 en una unidad.
El producto será 11x16.
Lo cual no es 180 menos 10.
Si disminuyo 12 en dos unidades e incremento 15 en dos unidades, el nuevo producto será 10x12 = 170, lo precisamente es 180 - 10.
Y esa es la solución.
2) Planteando una ecuación algebraica :
(12 + x), (15 - x) = 180 - 10
Aplicamos propiedad distributiva en el lado izquierdo y hacemos la operación de resta en el lado derecho :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%2812%29.%2815%29%2B12x-15x-%20x%5E%7B2%7D%20%3D170" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=180-3x-%20x%5E%7B2%7D%20%3D170" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20x%5E%7B2%7D%20%2B3x-10%3D0" />
Esa ecuación puede resolverse utilizando la resolvente o factorizando.
Factorizando : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28x%2B5%29.%28x-2%29%3D0" />
De donde obtenemos dos valores para x ; x = 2 y x = - 5.
De ellas la que tiene sentido según el enunciado es x = 2, que es la misma solución encontrada por el primer método.
Por tanto, la respuesta es que hay disminuir 12 y aumentar 15, cada uno, en dos unidades para que la multiplicación disminuya en 10.
Se trata de un mismo número que hay que disminuir el 12 y aumentar el 15. El producto original es : 12×15 = 180 El ejercicio me pide que después de disminuir el 12 y aumentar el 15, el resultado debe darme 10 unidades…
Respuesta : ay que aumentar tres y disminuir tres.