El tema es productos notables, ayuda por favor?

Bueno, no es muy complicado el caso de productos notables,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28a%5E%7Bn%7D%2Bb%5E%7Bn%7D%29%3D%28a%5E%7B%5Cfrac%7Bn%7D%7B3%7D%7D%2Bb%5E%7B%5Cfrac%7Bn%7D%7B3%7D%7D%29%28a%5E%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dn%7D-ab%2Bb%5E%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dn%7D%29%20" />

esa es una fórmula demaciado general, pero tienes que tener claro que funciona para cualquier ene (n), puede ser par, impar, obviamente se va a ver feísimo es factorización pero en posteriores cursos verás lo importante que es saber eso.

El caso más general es cuando ene (n) vale 3, veamos,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28a%5E%7B3%7D%2Bb%5E%7B3%7D%29%3D%28a%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B3%7D%7D%2Bb%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B3%7D%7D%29%28a%5E%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%283%29%7D-ab%2Bb%5E%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%283%29%7D%29%20%3D%28a%2Bb%29%28a%5E%7B2%7D-ab%2Bb%5E%7B2%7D%29" />

ese caso lo debes conocer mejor.

En fin, éstos funciona para (a) y (b), enteros, decimales, fraccionarios.

Reales en fin.

Entonces, hagamos el producto notable de

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7Bm%5E%7B12%7D%2B1%7D%7B3m%5E%7B6%7D%7D" />

primero vamos a hacer unos acomodes, vamos a sacar aparte el un tercio así,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cright%29%5Cfrac%7Bm%5E%7B12%7D%2B1%7D%7Bm%5E%7B6%7D%7D" />

y ahora, podemos distriguir el denomiandor para cada térmion del numerador, si rceuerdas lo que son las fracciones HOMOGÉNEAS ¿VERDAD?

, son aquellas que tienen el mismo denominador entonces los numeradores solo se sumaban y ya, haber,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%2B%5Cfrac%7Bc%7D%7Bb%7D%3D%5Cfrac%7Ba%2Bc%7D%7Bb%7D" />

entonces podemos distribuir el denominado para cada término del numerador, entonces,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cleft%28%5Cfrac%7Bm%5E%7B12%7D%7D%7Bm%5E%7B6%7D%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bm%5E%7B6%7D%7D%5Cright%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cleft%28m%5E%7B6%7D%2B%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bm%7D%5Cright%29%5E%7B6%7D%5Cright%29" />

nignún problema ¿verdad?

, uno elevado a la sexta sigue siendo uno, bueno un super uno talvez pero es uno.

Y el denominador quedo elevado a la sexta.

Ahora si apliquemos el producto notable, en éste caso n = 6, entonces,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cleft%28m%5E%7B6%7D%2B%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bm%7D%5Cright%29%5E%7B6%7D%5Cright%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cleft%28m%5E%7B2%7D%2B%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bm%7D%5Cright%29%5E%7B2%7D%5Cright%29%5Cleft%28m%5E%7B4%7D-%28m%5E%7B2%7D%29%5Cfrac%7B1%7D%7Bm%5E%7B2%7D%7D%2B%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bm%7D%5Cright%29%5E%7B4%7D%5Cright%29%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%5C%5C%20...%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cleft%28m%5E%7B2%7D%2B%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bm%7D%5Cright%29%5E%7B2%7D%5Cright%29%5Cleft%28m%5E%7B4%7D-1%2B%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bm%7D%5Cright%29%5E%7B4%7D%5Cright%29" />

pero sabemos que,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cleft%28m%5E%7B2%7D%2B%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bm%7D%5Cright%29%5E%7B2%7D%5Cright%29%3D2" />

entonces,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=...%3D%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%282%29%5Cleft%28m%5E%7B4%7D-1%2B%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bm%7D%5Cright%29%5E%7B4%7D%5Cright%29" />

ahora si te das cuenta lo que está entre el paréntesis más grande, es un caso de factorización, llamado trinomio cuadrado perfecto, está incompleto ¿verdad?

, porque sabemos que es así,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28a%5E%7B2%7D%5Cpm2ab%2Bb%5E%7B2%7D%29%3D%28a%5Cpm%20b%29%5E%7B2%7D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%5Cdisplaystyle%20m%5E%7B4%7D%2B2%2B%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bm%7D%5Cright%29%5E%7B4%7D%3D%5Cleft%28m%5E%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bm%5E%7B2%7D%7D%5Cright%29%5E%7B2%7D" />

pero nosotros no tenemos un ( + 2) tenemos un ( - 1), necesitamos que haya un ( + 2) para poder comprimir todo eso como un trignomio cuadrado perfecto por el resultado que nos dan poder reemplazar eso = 2 ¿que hacemos?

,

Fácil, estás de acuerdo que si sumamos cero (0) a cualquier cosa no cambia, y estás de acuerdo que - 3 + 3 = 0 entonces puedo hacer lo siguiente,

[img = 10]

entonces volvamos a donde nos quedamos,

[img = 11]

pero ya sabemos lo que sabemos entonces,

[img = 12]

y confiando que no me equivoqué ninguna suma y resta.

Ese debería ser el resultado,

espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas.