El segundo termino de una progrecion aritmetica de una progracion aritmentica es 11 i el 5 termino es 56cual es el decimo terminocual es el valor de la suma de los 10 primeros terminos?

Como sabrás, una progresión aritmética (PA) se forma a partir de ir sumando una cantidad fija (llamada diferencia "d") a un primer término a₁ para conseguir el 2º término a₂ y si sumamos de nuevo esa "d" a ese 2º término hallamos el tercero a₃.

Ok? Pues sabiendo eso, y sabiendo que el segundo término es 11, si sumo la cantidad desconocida "d" a ese 2º término tendré el tercero, o sea :

11 + d = a₃

Si vuelvo a sumar otra vez la misma cantidad "d" hallaré el cuarto término, o sea :

11 + d + d = a₄

Finalmente llegaré al quinto término cuyo valor sí que conozco y será sumando una vez más esa diferencia :

11 + d + d + d = 11 + 3d = 56 .

Y ahí tengo la ecuación simple para despejar "d" y así conocer ese dato esencial para la resolución del ejercicio :

11 + 3d = 56 .

Despejando "d" .

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=d%3D%20%5Cfrac%7B56-11%7D%7B3%7D%20%3D15" />

Sabiendo ese dato puedo conocer el primer término simplemente restando del segundo :

a₁ = a₂ - d = 11 - 15 = - 4

Sabiendo a₁ ya se puede aplicar la fórmula del término general de cualquier PA que dice : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%3Da_1%2B%28n-1%29%2Ad" />

en este caso, <img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%3D%20a_%7B10%7D%20" /> ya que nos pide el décimo término, así quesustituyendo.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20a_%7B10%7D%20%3D%28-4%29%2B%2810-1%29%2A15%20%3D%20-4%2B135%3D131" />

Y para la última pregunta se recurre a la fórmula de suma de términos de una PA :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S_n%3D%20%5Cfrac%7B%28a_1%2Ba_n%29%2An%7D%7B2%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20S_%7B10%7D%20%20%3D%20%5Cfrac%7B%28-4%2B131%29%2A10%7D%7B2%7D%20%3D635" />

Saludos.