El rango de la parabola (fx) = 3x ^ 2 + 4x - 1?

El rango, viene dado por los siguientes parámetros, el sentido dela parábola que viene dado por el signo del coeficente de la ecuación cuadratica de la variable de mayor grado, es decir,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=ax%5E%7B2%7D%2Bbx%2Bc%20%5Cdisplaystyle%5Chspace%7B5mm%7D%5Cleft%20%5C%7B%20%7Bsi%3Aa%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%200%5Chspace%7B3mm%7D%5Ctextrm%7Bla%20parabola%20se%20abre%20hacia%20arriba%7D%7D%20%5Catop%20%7Bsi%3Aa%5C%20%5Ctextless%20%5C%200%5Chspace%7B3mm%7D%5Ctextrm%7Bla%20parabola%20se%20abre%20hacia%20abajo%7D%7D%7D%20%5Cright.%20" />

y el segundo parámetro que debes ver, es el vértice de la parábaola, que viene definido por,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20V%3D%5Cleft%28-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%2Cf%5Cleft%28-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%5Cright%29%5Cright%29" />

bueno, entonces si ya sabemos que se abre hacia arriba o hacia abajo A PARTIR del punto más alto o bajo (vértice) el recorrido es fácil de determinar, veamos,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=3x%5E%7B2%7D%2B4x-1%20" />

aquí "a" es positivo vale + 3 entonces se abre la parábola hacia arriba.

Es decir hacia más infinito.

Ahora obtenegas el vértices, identificamos que a = 3, b = 4, entonces

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20V%3D%5Cleft%28-%5Cfrac%7B%284%29%7D%7B2%283%29%7D%2Cf%5Cleft%28-%5Cfrac%7B%284%29%7D%7B2%283%29%7D%5Cright%29%5Cright%29%3D%5Cleft%28-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%2Cf%5Cleft%28-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cright%29%5Cright%29%5C%5C%5C%5C%20f%5Cleft%28-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cright%29%3D3%5Cleft%28-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cright%29%5E%7B2%7D%2B4%5Cleft%28-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cright%29-1%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D-1%3D-%5Cfrac%7B7%7D%7B3%7D" />

entonces el vértice es,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=V%3D%5Cdisplaystyle%5Cleft%28-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%2C-%5Cfrac%7B7%7D%7B3%7D%5Cright%29" />

como el recorrido se mide en el eje ye, entonces nos interesa el vértice en el eje ye, entonces será - 7 / 3, y como sabemos que se abre hacia arriba fácilmente decimos que,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20R_%7Bf%7D%3A%5Cforall%20y%2Fy%5Cin%5Cleft%5B-%5Cfrac%7B7%7D%7B3%7D%2C%2B%5Cinfty%5Cright%29" />

y eso sería todo.