El método de la matriz inversa consiste en ?

Respuesta :

Explicación paso a paso : Matriz invertibleEn matemáticas, en particular en álgebra lineal, una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A−1, tal que : { \ displaystyle A \ cdot A ^ { - 1} = A ^ { - 1} \ cdot A = I_{n}} A \ cdot A ^ { - 1} = A ^ { - 1} \ cdot A = I_{n} , donde In es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual.

Una matriz cuadrada no invertible se dice

{ \ displaystyle { \ begin{matrix}A = (ei - fh)&D = - (bi - ch)&G = (bf - ce) \ \ B = - (di - fg)&E = (ai - cg)&H = - (af - cd) \ \ C = (dh - eg)&F = - (ah - bg)&I = (ae - bd) \ \ \ end{matrix}}} \ begin{matrix}A = (ei - fh) & D = - (bi - ch) & G = (bf - ce) \ \ B = - (di - fg) & E = (ai - cg) & H = - (af - cd) \ \ C = (dh - eg) & F = - (ah - bg) & I = (ae - bd) \ \ \ end{matrix}.

La inversa de una matriz, es única.

La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden : { \ displaystyle \ left(A \ cdot B \ right) ^ { - 1} = {B} ^ { - 1} \ cdot {A} ^ { - 1}} \ left (A \ cdot B \ right ) ^ { - 1} = {B} ^ { - 1} \ cdot {A} ^ { - 1} Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir : { \ displaystyle \ left(A ^ {T} \ right) ^ { - 1} = \ left(A ^ { - 1} \ right) ^ {T}} \ left(A ^ {T} \ right) ^ { - 1} = \ left(A ^ { - 1} \ right) ^ {T}Y, evidentemente : { \ displaystyle \ left(A ^ { - 1} \ right) = A} { \ displaystyle \ left(A ^ { - 1} \ right) = A}Una matriz con coeficientes en los reales es invertible si y sólo si el determinante de A es distinto de cero.

Además la inversa satisface la igualdad : { \ displaystyle {A ^ { - 1}} = {1 \ over { \ begin{vmatrix}A \ end{vmatrix}}} \ operatorname {adj} (A ^ {T}) \ } { \ displaystyle {A ^ { - 1}} = {1 \ over { \ begin{vmatrix}A \ end{vmatrix}}} \ operatorname {adj} (A ^ {T}) \ }donde { \ displaystyle { \ begin{vmatrix}A \ end{vmatrix}}} { { \ begin{vmatrix} A \ end{vmatrix}}} es el determinante de A y { \ displaystyle \ operatorname {adj} {(A)} \ } \ operatorname{adj}{(A)} \ es la matriz de adjuntos de A, entendida como a la matriz de cofactores traspuesta.

(Ver la explicación de la diferente manera de entender el término adjunto[1]​[2]​[3]​[4]​[5]​ en el artículo matriz de adjuntos).

El conjunto de matrices de nxn con componentes sobre el cuerpo { \ displaystyle \ mathbf {K} } { \ displaystyle \ mathbf {K} } que admiten inversa, con el producto de matrices, tiene una estructura isomorfa al grupo lineal { \ displaystyle { \ text{GL}}(n, \ mathbf {K} )} { \ displaystyle { \ text{GL}}(n, \ mathbf {K} )} de orden n.

En este grupo la operación de inversa es un automorfismo { \ displaystyle ( \ cdot ) ^ { - 1} : { \ text{GL}}(n, \ mathbf {K} ) \ to { \ text{GL}}(n, \ mathbf {K} )} { \ displaystyle ( \ cdot ) ^ { - 1} : { \ text{GL}}(n, \ mathbf {K} ) \ to { \ text{GL}}(n, \ mathbf {K} )}.

Demostración de la unicidad de la inversa EditarSupongamos que B y C son inversas de A

{ \ displaystyle AB = BA = I, \ quad { \ text{y}} \ quad AC = CA = I} { \ displaystyle AB = BA = I, \ quad { \ text{y}} \ quad AC = CA = I}De modo que B = C y se prueba que la inversa es única.

Demostración del criterio de invertibilidad de las matrices cuadradas EditarSe probará la doble implicación.

Suficiencia { \ displaystyle ( \ Rightarrow )} ( \ Rightarrow) EditarSuponiendo Suponiendo que el determinante de { \ displaystyle A} A es distinto de cero, sea { \ displaystyle a_{ij}} a_{ij} es el elemento ij de la matriz { \ displaystyle A} A y sea { \ displaystyle A_{ij}} A_{{ij}} la matriz { \ displaystyle A} A sin la fila { \ displaystyle i} i y la columna { \ displaystyle j} j (comúnmente conocida como { \ displaystyle j} j - ésimo menor de A).

Entonces

{ \ displaystyle \ det(A) = \ sum _{i = 1} ^ {n}( - 1) ^ {i + j}a_{ij} \ det(A_{ij})} \ det(A) = \ sum_{i = 1} ^ n ( - 1) ^ {i + j}a_{ij} \ det(A_{ij})Sea { \ displaystyle k \ neq j} k \ neq j, entonces{ \ displaystyle \ det \ left(A \ right)I = \ left({ \ mbox{adj}}(A) \ right)A} \ det \ left(A \ right)I = \ left( \ mbox{adj}(A) \ right)AEs decir que { \ displaystyle A} A tiene inversa izquierda.