El dueño de una fábrica de sillas para oficina sabe por experiencias pasadas que si vende cada silla a " y " (en unidades de diez mil pesos), el número de sillas que venderá semanalmente será de x = 20 - y unidades.
Entonces, su ingreso total semanal será I = xy = x(20 - x), (en unidades de diez mil pesos).
El costo de producir " x " sillas semanales está dado por la fórmula C(x) = 25 + 2x.
¿A qué precio se deben vender las sillas para asegurar una utilidad de $320000?
Hola!
Sabemos que la Ecuación de Ingresos esta dada por : Ingreso = Precio de venta × CantidadI(x) = X×y = X(20 - X)I(x) = - X² + 20X Ecuación del INGRESO
Ecuación del Costo : Costo Fijo + Costo Unitario × CantidadC(x) = CF + CU× XC(x) = 25 + 2x Ecuación del COSTO
La Ecuación de la Utilidad = Ingresos - CostosU(x) = I(x) - C(x)U(x) = - x² + 20x - (25 + 2x)U(x) = - x² + 20x - 25 - 2xU(x) = - x² + 18x - 25 Ecuación de la UTILIDAD
Utilidad de $ 320000 ⇒ 320000 / 10000 = 3232 = - x² + 18x - 25 - x² + 18x - 25 - 32 - x² + 18x - 57 = 0 Resolvemos por Fórmula General : ( - b + - √b² - 4×a×c) / 2×ax₁ = 4x₂ = 14 ⇒ Vendiendo mas de 4 sillas y menos de 14 asegura una Utilidad de por menos $ 320.
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U(x) = - x² + 18x - 25 El Máximo es el Vértice de la Parábolax = - b / 2×ax = - 18 / 2×( - 1) ⇒ x = 9 ⇒ Con la Venta de 9 Sillas obtiene la Mayor UtilidadU(x) = - 9² + 18(9) - 25 U(x) = 56 Maxima Utilidad ( $ 56000 )Verificamos con el gráfico (ver archivo adjunto)
Saludos!
