Ejercicios 3?
Ejercicios 3. Ecuaciones Diferenciales Exactas. Solucionar las siguientes ecuaciones diferenciales empleando el método de exactas [tex]ycosx + 2xe ^ y + (sinx + x ^ 2e ^ y + 5) \ frac{dy}{dx} = 0[ / tex].
En resumen
Respuesta : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=ysenx%2Bx%5E2e%5Ey%2B5y%3DC" /> es solución. Explicación paso a paso : Recordemos que la exactas son de la forma : <img src="https://tex.z-dn.net/?
Mejor respuesta
Respuesta : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=ysenx%2Bx%5E2e%5Ey%2B5y%3DC" /> es solución.
Explicación paso a paso : Recordemos que la exactas son de la forma : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=M%28x%2Cy%29dx%2BN%28x%2Cy%29dy%3D0" />entonces para tenerla de esta forma multiplicamos por <img src="https://tex.z-dn.net/?f=dx" /> : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28ycosx%2B2xe%5Ey%29dx%2B%28senx%2Bx%5E2e%5Ey%2B5%29dy%3D0" />donde : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=M%28x%2Cy%29%3Dycosx%2B2xe%5Ey%20%5C%5C%20N%28x%2Cy%29%3Dsenx%2Bx%5E2e%5Ey%2B5" />Ahora, verificamos que sí sean exactas, para esto se debe cumplir que : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=M_y%3DN_x" /><img src="https://tex.z-dn.net/?f=M_y%3Dcosx%2B2xe%5Ey" /><img src="https://tex.z-dn.net/?f=N_x%3Dcosx%2B2xe%5Ey" />Por lo que se cumple.
Ahora procedemos a resolverla : para esto definimos una función escalar : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5CPsi%3A%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E2%20%5Crightarrow%20%5Cmathbb%7BR%7D%20%5C%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%28x%2Cy%29%20%20%5C%20%20%5Crightarrow%20%5CPsi%28x%2Cy%29" />cuya derivada total es : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=d%20%5CPsi%28x%2Cy%29%3D%20%5Cfrac%7B%5Cdelta%20%5CPsi%7D%7B%5Cdelta%20x%7Ddx%2B%5Cfrac%7B%5Cdelta%20%5CPsi%7D%7B%5Cdelta%20y%7Ddy" />Y si : [img = 10] es porque [img = 11] es una función constante : [img = 12]Ahora, tenemos que si : [img = 13]entonces : [img = 14] si y sólo si [img = 15]Entonces la función [img = 16] es solución de la ecuación diferencial.
Para esto lo que hacemos es integrar : [img = 17]Y entonces : [img = 18]Es solución.
Intenté explicar el método de solución detalladamente, espero haberte ayudado, éxitos con tu estudio.
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