Ejercicio : la circunferencia es tangente ala recta x - y = 2 en el punto (4, 2) y el centro esta en el eje x?

Muy sencillo!

Mira

sabemos que su centro esta sobre el eje x , entonces k = 0

sabemos que ese punto esta en la recta - (1) - x - y = 2

si yo trazo otra recta perpendicular a esa su centro esta igual en esta nueva recta

asi que de la recta (1) vamos a calcular su pendiente despejando Y

y = x - 2 la pendiente es el coeficiente que acompaña a x en este caso m1 = 1

bien, para crear la nueva recta donde estara su centro , su pendiente debe ser - 1 , puesto que para que dos rectas sean perpendiculares el producto de sus pendientes debe ser - 1

entonces ya sabemos que la nueva recta a generar su pendiente es - 1 y que pasa por (4, 2) porque obviamente va a intersectar a la recta(1)

entonces

y - y1 = m(x - x1)

y - 2 = - 1(x - 4) - (2) - y = - x + 6

entonces (2) es tu nueva recta perpendicular a (1) donde en "y" estara "k" y en "x" estara "h"

sustituimos "k" en" y" y "h" en" x"

asi

k = - h + 6

sabemos que k es 0 porque esta sobre el eje x

entonces tenemos 0 = - h + 6

despejando h tenemos que h es 6

h = 6

ya tenemos su centro C(6, 0)

para calcular su radio podemos sacar la distancia del centro a el punto(4, 2)

R ^ 2 = (6 - 4) ^ 2 + (0 - 2) ^ 2 = 8

Entonces el radio al cuadrado vale 8 entonces ya tenemos todo para hacer la ecuacion

(x - h) ^ 2 + (y - k) ^ 2 = r ^ 2

(x + 6) ^ 2 + (y - 0) ^ 2 = 8

esa es la ecuación de la circunferencia saludos!

Te dejo la foto de la circunferencia y las rectas.